Betragsfunktion

Betrag eines Terms

Ist der Betrag eines Terms zu bilden, der eine Unbekannte enthält, dann ist eine Fallunterscheidung erforderlich:

Für alle die Werte der Unbekannten, für die der Wert des Terms größer oder gleich null ist, können die Betragszeichen einfach fortgelassen werden.

Beispiele:
1. $\left|x^2+1\right|=x^2+1$,
weil $x^2+1$ für alle Werte von x positiv ist.

2. $\left|x+1\right|=x+1$ für $x\ge -1$,
da nur für der Term positiv bzw. gleich null ist.

Für alle die Werte der Unbekannten, für die der Wert des Terms kleiner null ist, können die Betragszeichen auch entfallen, allerdings ist der Term in Klammern einzuschließen und mit –1 zu multiplizieren.

Beispiele:
1. $\left|-x^2-1\right|=-\left(-x^2-1\right)$,
da der Term $-x^2-1$ für alle Werte von x negativ ist.

2. $\left|x+1\right|=-\left(x+1\right)$ für $x<-1$,
da für Werte $x<-1$ der Term $x+1$ negativ ist.

Wenn der Graph einer Funktion $y=f\left(x\right)$ sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft (die Funktion also positive und negative Werte annimmt), so werden durch $y=\left|f\left(x\right)\right|$ die unterhalb der x-Achse verlaufenden Teile des Graphen an der x-Achse gespiegelt.

Beispiel:
$y=f\left(x\right)=x^2-3x-4bzw.y=f\left(x\right)=\left|x^2-3x-4\right|$

Die Graphen weiterer Funktionen mit Beträgen können mit dem interaktiven Rechenbeispiel erzeugt werden.

Für Knobler:

Welche Punktmenge wird durch $\left|y\right|=\left|x+1\right|$ beschrieben?