Teilbarkeit
Die natürliche Zahl a teilt die natürliche Zahl b (a | b), wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass gilt b = n · a. Die Zahl a heißt Teiler von b und b heißt Vielfaches von a.
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4 | 24, da 24 = 6 · 4 |
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| Sprechweise: | 4 teilt 24 |
| oder: | 4 ist ein Teiler von 24 |
| oder: | 24 ist ein Vielfaches von 4 |
Zur Ermittlung von Teilern großer Zahlen können Teilbarkeitsregeln verwendet werden.
Teiler und Vielfache
Die natürliche Zahl a teilt die natürliche Zahl b (a | b), wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass gilt:
b = n · a
Die Zahl a heißt Teiler von b und b heißt Vielfaches von a.
Beispiel:
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4 | 24, da 24 = 6 · 4 |
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| Sprechweise: | 4 teilt 24 |
| oder: | 4 ist ein Teiler von 24 |
| oder: | 24 ist ein Vielfaches von 4 |
Teilbarkeitsregeln
Eine Zahl ist nur dann
- durch 2 teilbar, wenn sie auf 0; 2; 4; 6 oder 8 endet,
- durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet,
- durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
Eine Zahl ist nur dann
- durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden,
- durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden,
- durch 25 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern eine durch 25 teilbare Zahl bilden.
Weitere Teilbarkeitsregeln
Um Zahlen auf Teilbarkeit durch 3, durch 6 und durch 9 zu untersuchen, werden Regeln verwendet, in denen die Summe aus den Ziffern der Zahl gebildet wird. Diese Summe heißt Quersumme. Verschiedene Zahlen können die gleiche Quersumme besitzen.
| Zahl | Quersumme |
| 1 073 | 1 + 0 + 7 + 3 = 11 |
| 7 130 | 7 + 1 + 3 + 0 = 11 |
| 56 | 5 + 6 = 11 |
| 65 | 6 + 5 = 11 |
Eine Zahl ist nur dann
durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist,
durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
| 3 | 18 762 | 1 + 8 + 7 + 6 + 2 = 24 | 3 | 24 | |
| 3 6 851 | 6 + 8 + 5 + 1 = 20 | 3 20 | |
| 9 | 58 617 | 5 + 8 + 6 + 1 + 7 = 27 | 9 | 27 | |
| 9 3 128 | 3 + 1 + 2 + 8 = 14 | 9 14 | |
Die Teilbarkeitsregeln lassen sich auch anwenden, wenn Zahlen auf Teilbarkeit durch eine zusammengesetzte Zahl untersucht werden. Dann werden die Teiler der zusammengesetzten Zahl verwendet.
- Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 2 teilbar (gerade) ist.
- Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 60 teilbar, wenn sie durch 3; 4 und durch 5 teilbar ist.
Die betrachteten Teiler müssen aber zueinander teilerfremd sein, d. h., sie dürfen keine gemeinsamen Teiler besitzen. Wenn sich z. B. eine Zahl durch 6 und durch 2 teilen lässt, muss sie nicht unbedingt durch 12 teilbar sein.
Gegenbeispiele: 6; 18; 30; …
| 6 | 7 854 | da 2 | 7 854 | und 3 | 7 854 |
| 12 | 33 192 | da 3 | 33 192 | und 4 | 33 192 |
| 15 | 27 420 | da 3 | 27 420 | und 5 | 27 420 |
| 60 | 1 680 | da 3 | 1 680 | und 4 | 1 680 und 5 | 1 680 |
| 60 56 610 | obwohl 6 | 56610 |
und 10 | 56 610 |
