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Urnenmodell

Viele Probleme der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich mithilfe des Urnenmodells veranschaulichen (simulieren). Dazu wird angenommen, dass sich in einem Gefäß (der Urne) eine bestimmte Anzahl (unterscheidbarer) Kugeln befinden und dass aus diesem Gefäß eine entsprechende Anzahl von Kugeln nacheinander bzw. auf einen Griff gezogen werden.

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Viele Probleme der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich mithilfe des Urnenmodells veranschaulichen (simulieren).

Das betrifft vor allem die sogenannten Grundaufgaben der Kombinatorik. Dazu wird angenommen, dass sich in einem Gefäß (der sogenannten Urne) n nummerierte (unterscheidbare) Kugeln befinden.
Eine Auswahl von k Elementen aus einer n-elementigen Grundmenge lässt sich durch Ziehen von k Kugeln realisieren. Man muss dabei zwischen einer Auswahl ohne und einer Auswahl mit Wiederholung unterscheiden. Im ersten Fall erfolgt die Ziehung ohne Zurücklegen, im zweiten Fall wird die jeweils gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt.

Auch Zufallsversuche, bei dem jedes mögliches Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat (Laplace-Experimente), lassen sich simulieren. Ein bestimmtes Ereignis (als Menge der dafür günstigen Ergebnisse) und die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Ereignisses kann durch entsprechende Beschriftung (Nummerierung, Farbe usw.) der Kugeln definiert werden. Bild 1 zeigt das für die Simulation des Werfens eines „gezinkten“ Würfels.

  • Urne zur Simulation des Werfens eines gezinkten Würfels
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Urnenmodell." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/urnenmodell (Abgerufen: 20. May 2025, 12:14 UTC)

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  • Laplace-Experiment
  • Simulation
  • Wahrscheinlichkeit
  • Zufallsexperiment
  • Anordnungen
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Mithilfe von Baumdiagrammen lassen sich Vörgänge, die aus mehreren Stufen (Teilvorgängen) bestehen, veranschaulichen. Das betrifft sowohl kombinatorische Probleme als auch mehrstufige Zufallsexperimente (Zufallsversuche).

Kombinatorik

Die Kombinatorik ist ein Zweig der Mathematik, der die verschiedenen Möglichkeiten der Anordnung von Objekten oder Zahlen untersucht. Sie ist Grundlage vieler Gebiete der Mathematik, insbesondere der beschreibenden Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Jakob Bernoulli

 

JAKOB BERNOULLI, Schweizer Mathematiker
* 27. Dezember 1654 Basel
† 16. August 1705 Basel

JAKOB BERNOULLI gilt als einer der Hauptvertreter der Infinitesimalrechnung und Reihenlehre seiner Zeit. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann entwickelte er den „Leibnizschen Calculus“ weiter.
Mit dem aus seinem Nachlass im Jahre 1713 herausgegebenen Buch „Ars conjectandi“ wurde JAKOB BERNOULLI zum Begründer einer Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Werk wird u. a. die Anwendung der Kombinatorik auf Glücks- und Würfelspiele beschrieben und das Gesetz der großen Zahlen formuliert.

Fakultätsschreibweise

Das Symbol n! (gesprochen: n-Fakultät) wird als abkürzende Schreibweise für das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n definiert. Insbesondere Formeln der Kombinatorik lassen sich mithilfe der Fakultätsschreibweise in rationeller Form angeben.

Kombinationen

Zu den typischen kombinatorischen Fragestellungen gehören solche, bei denen Zusammenstellungen von k aus n Elementen betrachtet werden, also eine Auswahl vorgenommen wird.
Werden dabei alle möglichen Reihenfolgen der Elemente betrachtet und unterschieden, so spricht man von Variationen, wird die Reihenfolge nicht berücksichtigt von Kombinationen.
(Der Begriff Kombination wird mitunter auch als Oberbegriff für Variation und Kombination verwendet.)

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