Das Induktionsgesetz

Diese Zusammenhänge kann man durch Grundversuche zur elektromagnetischen Induktion zeigen. Diese Grundversuche sind in einem gesonderten Beitrag auf der CD ausführlich erläutert.

Das Induktionsgesetz lässt sich aber auch in Form einer Gleichung für die Induktionsspannung darstellen und aus dieser allgemeinen Gleichung lassen sich die verschiedenen Spezialfälle ableiten. Dazu ist aber zunächst die Einführung einer weiteren physikalischen Größe erforderlich, die bei der mathematischen Formulierung des Induktionsgesetzes genutzt wird.

Der magnetische Fluss

Alle Experimente zur elektromagnetischen Induktion zeigen, dass der Betrag der Induktionsspannung abhängig ist

  • von der Änderung der Stärke des magnetischen Feldes, die man durch die magnetische Flussdichte B charakterisieren kann;
  • von der Fläche A der Spule, die sich im Magnetfeld befindet;
  • von der Windungszahl der Spule.

Wir betrachten zunächst die beiden zuerst genannten Punkte und eine Spule mit einer Windung, eine Leiterschleife der Fläche A. Dann kann man sich zunächst anschaulich mithilfe von Feldlinien darstellen, wie man ein Magnetfeld charakterisieren kann, das eine Fläche durchsetzt. Das Feld sei dabei senkrecht zur Fläche gerichtet (Bild 2). Die magnetische Flussdichte ist in dieser Darstellung ein Maß für die Dichte der Feldlinien. Sie ist also in Bild 2a, 2c und 2d gleich, in Bild 2b dagegen größer. Die Anzahl der Feldlinien als Maß für das Magnetfeld, das durch eine Fläche hindurchtritt, ist aber nicht nur von der Dichte der Feldlinien, sondern auch von der Größe der Fläche abhängig. Deshalb hat man als neue Größe den magnetischen Fluss eingeführt und definiert:

Ein magnetischer Fluss ist ein Maß für das die Fläche einer Leiterschleife durchsetzende Magnetfeld. Unter der Voraussetzung, dass die Fläche senkrecht zum Magnetfeld liegt, gilt für den magnetischen Fluss:
φ=BAB magnetische FlussdichteA wirksame FlächeDie Einheit des magnetischen Flusses ist ein Weber (1 Wb):1 Wb=1Vs
Benannt ist diese Einhe it nach dem Physiker WILHELM EDUARD WEBER (1804-1891), der in Göttingen eng mit CARL FRIEDRICH GAUSS zusammengearbeitet hat.

Als wirksame Fläche wird diejenige Fläche der Leiterschleife bezeichnet, die senkrecht vom magnetischen Feld durchsetzt wird (Bild 3). Aus den Skizzen ist erkennbar, dass sie bei einer gegebenen Leiterschleife zwischen der Fläche A dieser Leiterschleife und null betragen kann. Man kann also die wirksame Fläche beispielsweise durch Drehen einer Leiterschleife oder Spule im Magnetfeld zwischen dem Maximalwert A und null ändern.
Liegt eine Spule vor, dann kann man diese als aneinandergereihte Leiterschleifen auffassen. Beträgt die Windungszahl der Spule N, dann ist die maximale wirksame Fläche das N-fache einer Leiterschleife und es gilt allgemein für Spulen:

Agesamt=NAcosϕN Windungszahl der SpuleA Fläche einer Wicklung der Spuleϕ Winkel zwischen der Richtung des Magnetfeldes und der Flächennormalen

Eine allgemeine mathematische Formulierung des Induktionsgesetzes

Mithilfe der Größe magnetischer Fluss und der Feldgröße magnetische Flussdichte kann man das Induktionsgesetz in folgender allgemeinen Formulierung angeben:

Ui=Ndφdt oder mit φ=BA:Ui=Nd(BA)dtN Windungszahlφ magnetischer Flusst ZeitB magnetische FlussdichteA wirksame Fläche
Das Minuszeichen ergibt sich aus energetischen Betrachtungen. Es hat keinen Einfluss auf den Betrag der Induktionsspannung.

Ableitung von Spezialfällen aus dem Induktionsgesetz

Wir gehen im Weiteren von dem Induktionsgesetz in der Form
Ui=Nd(BA)dt aus. Führt man die Differentiation aus, dann erhält man:
Ui=N(AdBdt+BdAdt))

Daraus ergeben sich die folgenden Spezialfälle:

(1) Ist das Feld zeitlich konstant und damit, dBdt=0 dann ergibt sich für die Induktionsspannung:
Ui=NBdAdt oder in DifferenzenschreibweiseUi=NBΔAΔt

Das bedeutet: Im zeitlich konstanten Magnetfeld hängt die induzierte Spannung von der Änderungsgeschwindigkeit der wirksamen Fläche ab. Genutzt wird dieser Zusammenhang bei Generatoren. Genauere Hinweise zu deren Aufbau und Wirkungsweise sind unter dem Stichwort „Generatoren“ zu finden.

(2) Die Leiterschleife oder Spule ruht in einem veränderlichen Magnetfeld. Damit ist dAdt=0 und für die Induktionsspannung ergibt sich:
Ui=NAdBdt oder in DifferenzenschreibweiseUi=NAΔBΔt

Das bedeutet: Im zeitlich veränderlichen Magnetfeld hängt die dort in einer ruhenden Spule induzierte Spannung von der Änderungsgeschwindigkeit der magnetischen Flussdichte ab. Genutzt wird dieser Zusammenhang bei Transformatoren. Genauere Hinweise zu deren Aufbau und Wirkungsweise sind unter dem Stichwort „Transformatoren“ zu finden.

(3) Auch die Spannung zwischen den Enden eines Leiters kann man aus dem Induktionsgesetz ableiten. Dazu betrachten wir den in Bild 4 dargestellten Sachverhalt: Ein Leiter der Länge l wird in einem dazu senkrechten, zeitlich konstanten Magnetfeld bewegt. Für diesen Fall könnte man das Induktionsgesetz in folgender Form anwenden:
Ui=BΔAΔtMit ΔA=lΔs erhält man:Ui=BlΔsΔtNun ist, eine gleichförmige Bewegung vorausgesetzt, ΔsΔt=v.Damit erhält man:Ui=BlvB magnetische Flussdichtel Länge des Leitersv Geschwindigkeit des Leiters

Die gleiche Beziehung kann man auch durch Anwendung der LORENTZ-Kraft oder durch energetische Betrachtungen gewinnen.

Wendet man die LORENTZ-Kraft auf einen Leiter mit frei beweglichen Elektronen an, der sich senkrecht zu den Feldlinien bewegt, dann gilt:
FL=evB
Die Ladungsverschiebung infolge des Wirkens der LORENTZ-Kraft geht solange vor sich, bis die dadurch entstehende Feldkraft genauso groß ist wie die LORENTZ-Kraft. Es gilt dann also:
FFeld=FLSetzt man für die LORENTZ-Kraft den Term evB ein,so erhält man:FFeld=evB oderFFelde=vB (1)Nimmt man im Leiter ein homogenes Feld an, dann ist FFelde=E=Ul. Einsetzt in Gleichung (1) ergibt sich:Ul=vB oderU=Ui=lvB
Mit energetischen Betrachtungen kann man folgendermaßen herangehen:
Bei der elektromagnetischen Induktion wird mechanische Energie in elektrische Energie umgewandelt. Um den Leiter zu bewegen, ist eine Kraft erforderlich. Es muss die mechanische Arbeit Wmech=FΔs verrichtet werden. Es entsteht die elektrische Energie Eel=UIΔt.
Im Idealfall ist nach dem Energieerhaltungssatz die entstehende elektrische Energie genauso groß wie die verrichtete mechanische Arbeit. Es gilt also:
FΔs=UIΔtDer entstehende Induktionstrom ruft eine Feldkraft hervor,die der Kraft F entgegengerichtet ist und den Betrag llB hat.Damit ergibt sich:llBΔs=UIΔt oder vereinfacht:lBΔs=UΔtDurch Umstellung nach U erhält man:U=lBΔsΔt und mit ΔsΔt=v:U=lBv

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Lernhelfer-App für dein Smartphone oder Tablet

Lexikon Share
Beliebte Artikel
alle anzeigen

Einloggen