Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 13 Wahrscheinlichkeitstheorie
  4. 13.5 Binomialverteilung
  5. 13.5.8 Zentraler Grenzwertsatz
  6. Der Zentrale Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz

Ausgehend von der Erfahrung, dass viele Alltagsphänomene, die sich aus unabhängig voneinander wirkenden kleinen Komponenten zusammensetzen, annähernd normalverteilt sind, richtete sich das Augenmerk mehrerer Mathematikergenerationen vor allem auf die Frage, welche Bedingungen man dafür zu fordern hat.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Auch der Zufall ist nicht unergründlich, er hat seine Regelmäßigkeit. (NOVALIS)

Betrachtet man reale zufällige Prozesse etwas genauer, so wird man feststellen, dass sie nicht selten durch die Überlagerung einer Vielzahl unabhängig voneinander wirkender kleiner Effekte zustande kommen, die selbst zufälligen Charakter tragen. Das trifft z.B. auf natürliche Wachstumsprozesse, auf Messvorgänge oder auf die Einhaltung von Produktionstoleranzen zu.

Mathematisch kann dieser Sachverhalt durch die Summe unabhängiger Zufallsgrößen X i       ( m i t       i = 1,   2,   ...,   n ) beschrieben werden. Es stellt sich die Frage, ob die Verteilung der Zufallsgröße X = X 1 + X 2 + ... + X n , insbesondere für große n, besondere Eigenschaften und Merkmale besitzt.
Wir betrachten dazu das folgende Beispiel:

Beispiel: Gegeben seien die vier diskreten Zufallsgrößen
X 1 ≙ ( 1 2 3 4 5 0,1 0,1 0,2 0,5 0,1 )         X 2 ≙ ( 1 2 3 4 5 0,4 0,2 0,2 0,1 0,1 ) X 3 ≙ ( 1 2 3 4 5 0,2 0,3 0,1 0,1 0,3 )     X 4 ≙ ( 1 2 3 4 5 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 )

Die Zufallsgröße X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 nimmt die Werte 4,       5,       6,       ...,       19,       20 an.

  • Script zum Berechnen der Verteilunsgmatrix und zum Zeichnen des Histogramms

Die Verteilungsmatrix von X kann man mittels eines (vierstufigen, 625-pfadigen und damit recht umfangreichen) Baumdiagramms oder aber mittels Computer berechnen und mit Hilfe eines Diagramms veranschaulichen.

Bild

Das Ergebnis legt die Vermutung nahe, dass bei der Addition unabhängiger Zufallsgrößen für große n eine Normalverteilung entstehen könnte. Der Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE stützt diese Annahme für einen Spezialfall, und zwar für den Fall, dass alle X i die gleiche Verteilung der Gestalt
X i ≙ ( 0 1 p 1 − p )
besitzen.

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827) war überzeugt, dass jede beliebige Zufallsgröße, die man in einzelne Summanden zerlegen kann, einer Normalverteilung folgt, auch wenn man nichts über die Verteilung der einzelnen Summanden weiß. Er konnte dies allerdings nicht beweisen. LAPLACE vermutete es nur intuitiv.

Angesichts der Aussage des Grenzwertsatzes von MOIVRE-LAPLACE und der Erfahrung, dass viele Alltagsphänomene, die sich aus unabhängig voneinander wirkenden kleinen Komponenten zusammensetzen, annähernd normalverteilt sind, richtete sich das Augenmerk mehrerer Mathematikergenerationen vor allem auf die Frage, welche Bedingungen man an die Summanden X i einer Summe von Zufallsgrößen stellen muss, damit die Summe
X = ∑ i = 1 n X i
für große n annähernd normalverteilt ist.

Es gelang in der Folgezeit, diese Aussage für verschiedene Annahmen über die Summanden zu beweisen. Deshalb existieren auch verschiedene Fassungen des sogenannten Zentralen Grenzwertsatzes. Die heute wohl bekannteste und verbreitetste Fassung geht auf JARL WALDEMAR LINDEBERG (1876 bis 1932) und PAUL PIERRE LÉVY (1886 bis 1971) zurück. Sie besagt Folgendes:

  • Es seien X 1 ,       X 2 ,       ...,       X n ,       ... unabhängige Zufallsgrößen mit derselben Verteilung, wobei E X i = μ und D 2   X i = σ 2       ( m i t       σ > 0 ) endlich sind. Setzt man X = ∑ i   =   1 n X i und Z n = X − n ⋅ μ σ ⋅ n , dann gilt:
    lim n   →   ∞ P ( Z n ≤ a ) = Φ ( a ) = 1 2 π ⋅ ∫ −   ∞ a e −   1 2 x 2 d x

Die Verteilung einer Summe von unabhängigen Zufallsgrößen mit verschiedenen Verteilungen braucht nicht gegen eine Normalverteilung zu konvergieren.

Durch die Untersuchungen zahlreicher Mathematiker konnten aber hinreichende und notwendige Bedingungen bestimmt werden, unter denen der Zentrale Grenzwertsatz gilt, auch wenn die Summanden verschiedene Verteilungen besitzen. Da diese Bedingungen, die hier nicht angegeben werden können, sehr allgemein sind, sind für eine ziemlich umfangreiche Klasse von Folgen unabhängiger Zufallsgrößen X i die Summen X asymptotisch normalverteilt. Es konnte sogar nachgewiesen werden, dass auch die Verteilung einer Summe schwach abhängiger Zufallsgrößen asymptotisch normalverteilt ist.

Der Zentrale Grenzwertsatz liefert also in seinen unterschiedlichen Fassungen eine theoretische Erklärung dafür, warum so viele verschiedenartige Phänomene des Alltagslebens als annähernd normalverteilt betrachtet werden können und warum die grafische Darstellung relativer Häufigkeiten näherungsweise so oft eine gaußsche Glockenkurve ergibt.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Der Zentrale Grenzwertsatz." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/der-zentrale-grenzwertsatz (Abgerufen: 30. June 2025, 12:02 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • gaußsche Glockenkurve
  • zufällige Prozesse
  • Grenzwertsatz von Moivre-Laplace
  • Verteilungen
  • unabhängige Zufallsgrößen
  • Normalverteilung
  • Levy
  • Lindeberg
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Die gaußsche Summenfunktion

Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion
  ϕ ( x ) :     x ↦ 1 2 π e −   1 2 x 2     ( x ∈ ℝ )
und der gaußschen Glockenkurve als Graph ihrer Dichtefunktion.

Die Verteilungsfunktion von X wird mit Φ bezeichnet und gaußsche Summenfunktion (bzw. auch gaußsche Integralfunktion oder GAUSSsches Fehlerintegral) genannt.
Es gilt:
  P ( X ≤ a ) = Φ ( a ) = ∫ −   ∞ a ϕ ( x )   d x

Die gaußsche Glockenkurve

Der Graph der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung trägt (vorwiegend im deutschsprachigen Raum) auch die Bezeichnung gaußsche Glockenkurve.
Die Normalverteilung selbst wurde allerdings nicht von CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) entdeckt. Dessen Verdienst um die Wahrscheinlichkeitsrechnung liegt auf einer anderen Ebene. Durch seine Arbeiten zur sogenannten Fehlerrechnung hat er der Entwicklung der Stochastik wichtige Impulse gegeben.

Histogramme

Zum grafischen Veranschaulichen der Häufigkeits- und der Wahrscheinlichkeitsverteilungen von endlichen Zufallsgrößen X mit
  X ≙ ( x 1 x 2 ... x n P ( X = x 1 ) P ( X = x 2 ) ... P ( X = x n ) )
werden ihre relativen Häufigkeiten der Klassen bzw. ihre Einzelwahrscheinlichkeiten häufig als Stäbe oder als Säulen (Rechtecke) dargestellt, die senkrecht auf der Abszissenachse stehen.
Ist bei einem derartigen aufrechten Säulendiagramm jeweils der Flächeninhalt des über der Klasse K i bzw. über x i errichteten Rechtecks gleich der relativen Häufigkeit h n ( K i ) bzw. der Einzelwahrscheinlichkeit P ( X = x i ) so nennt man es Histogramm.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Ermitteln

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Ermitteln von Wahrscheinlichkeitsverteilungen".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Simulation

Als Simulation bezeichnet man die Nachbildung (das Nachahmen) eines Zufallsversuchs mithilfe eines geeigneten Zufallsgeräts. Als Zufallsgeräte werden Würfel oder Münzen verwendet, mitunter arbeitet man auch mit (in Tabellen zusammengestellten) Zufallszahlen (Zufallsziffern).

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025