Standardnormalverteilung

Ist X eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern $\mu$ und ${\sigma }^2$, dann ist die standardisierte Zufallsgröße $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$ ebenfalls normalverteilt, und zwar $N\left(0;1\right)\text{-verteilt}$. Man nennt diese Zufallsgröße dann standardnormalverteilt und spricht von der Standardnormalverteilung.

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet man mit $\varphi$. Es gilt:
$\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$

Der Graph dieser Dichtefunktion, die sogenannte gaußsche Glockenkurve, ist axialsymmetrisch zur y-Achse, weil $\varphi \left(x\right)=\varphi \left(-x\right)$ für alle $x\in ℝ$ gilt.
Für $x=0$ hat der Graph ein Maximum mit dem Wert $\varphi \left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\approx \mathrm{0,399}$.

Die beiden Wendepunkte liegen bei $x_1=-1$ und $x_2=1$.

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird mit $\Phi$ bezeichnet und häufig auch gaußsche Summenfunktion genannt. Es gilt:
$\Phi \left(a\right)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{a}{\int }}\varphi \left(x\right)dx}$

Der Graph dieser Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum (0; 0,5), weil $\Phi \left(-a\right)=1-\Phi \left(a\right)$ für alle $a\in ℝ$ gilt.

Es sei Y standardnormalverteilt.
Dann kann man die Wahrscheinlichkeit
$P\left(Y\le a\right)=\Phi \left(a\right)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{a}{\int }}\varphi \left(x\right)dx}$
sowohl als Inhalt der Fläche unterhalb des Graphen der Dichtefunktion $\varphi$ über dem Intervall $\left]-\infty ;a\right]$ als auch als Wert der Verteilungsfunktion $\Phi$ an der Stelle x = a interpretieren.

Es gelten folgende Rechenregeln für die Wahrscheinlichkeiten $\left(füra,b,c\in ℝ;c>0\right)$:
$\begin{array}{l}(1)P\left(a\le Y\le b\right)=\Phi \left(b\right)-\Phi \left(a\right)\\ (2)P\left(Y>a\right)=1-\Phi \left(a\right)\\ (3)P\left(-c\le Y\le c\right)=2\cdot \Phi \left(c\right)-1\end{array}$

Es sei nun $Y\sim N\left(0;1\right)$ und $X=\sigma Y+\mu$, d.h., es ist $X\sim N\left(\mu ;{\sigma }^2\right)$.
Für eine solche $N\left(\mu ;{\sigma }^2\right)\text{-verteilte}$ Zufallsgröße X lauten diese Rechenregeln (unter Beachtung der Transformationsgleichung $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$) dann wie folgt:
$\begin{array}{l}(1)P\left(a\le X\le b\right)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)\\ (2)P\left(X>a\right)=1-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)\\ (3)P\left(-c\le X\le c\right)=2\cdot \Phi \left(\frac{c-\mu }{\sigma }\right)-1\end{array}$

Mit der Rückführung einer beliebigen Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung reduziert sich der Aufwand zur Berechnung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten erheblich. Trotzdem bleibt die Schwierigkeit bestehen, dass die Dichtefunktion $\varphi$ keine elementare Stammfunktion besitzt.

Man hat deshalb die Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung (und auch die Dichtefunktion $\varphi$) tabelliert, und zwar nur für nichtnegative Argumente, da die Funktionswerte für negative Argumente durch die Gleichung $\Phi \left(-x\right)=1-\Phi \left(x\right)$ gewonnen werden können. Dabei wurden die Funktionswerte von $\Phi$ mithilfe folgender Reihendarstellung von $\Phi$ bestimmt:
$\Phi \left(x\right)\approx \frac{1}{2}+\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\cdot \left(1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left(-1\right)}^k\frac{x^{2k}}{k!\cdot 2^k\cdot \left(2k+1\right)}}\right)$

Auf dem (Taschen-)Computer kann man dieses Verfahren nachvollziehen, indem die n-te Partialsumme dieser Reihe als Funktionsterm in Abhängigkeit von x und n definiert wird.

Moderne Mathematiksoftware verfügt über spezielle Programme zur Integralberechnung, sodass es möglich ist, die Werte von
$\Phi \left(x\right)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt}$
direkt zu bestimmen. Dabei wird aber mitunter eine erhebliche Rechenzeit benötigt, die vor allem aus der unteren Integrationsgrenze $-\infty$ resultiert.

Die Rechenzeit kann erheblich verkürzt werden, wenn man als untere Integrationsgrenze eine endliche Zahl wählt (etwa –5).

Das führt im Allgemeinen zu keinem Genauigkeitsverlust, denn es gilt z.B.:
$\begin{array}{l}\Phi \left(-3\right)\approx \mathrm{0,00135}\\ \Phi \left(-4\right)\approx \mathrm{0,000032}\\ \Phi \left(-5\right)\approx \mathrm{0,000000287}\end{array}$

Der Anwender benötigt also bei der Arbeit mit der Normalverteilung keine Integralrechnung, sondern nur ein Tafelwerk der Stochastik oder einen entsprechenden Computer.