Differenzialgleichungen zur Beschreibung der Füllstandssteuerung einer Talsperre

Eine Wasserzufuhr $Z\left(t\right)\ne 0$ bewirkt eine Änderung des Stauvolumens V(t). Da die Änderung des Stauvolumens durch die erste Ableitung $V\prime \left(t\right)$ beschrieben wird, gilt die Gleichung $V\prime \left(t\right)=Z\left(t\right).$ Dabei ist der Füllstand zur Zeit $t=0mitV\left(0\right)=V_0$ als Anfangsbedingung gegeben. Für $t\ge 0$ beschreibt die Funktion Z(t) die Einstellung des Zu- und Abflusses der Talsperre zu einer beliebigen Zeit t.

Der Füllstand der Talsperre kann durch die Wasserzufuhr Z(t) gesteuert werden. Je nach der verfolgten Zielstellung muss eine geeignete Funktion Z(t) ausgewählt oder eine durch Umweltbedingungen diktierte Funktion Z(t) akzeptiert werden.

Es soll nun für einen speziellen Fall die Entwicklung des Füllstandes betrachtet werden:

Der aktuelle Füllstand einer Talsperre liege mit dem Volumen $V\left(0\right)=V_0$ noch deutlich unter dem maximalen Volumen $V_{\max }.$ Die Zufuhr Z(t) soll so gewählt werden, dass das Stauvolumen V(t) ständig zunimmt, $V_{\max }$ aber nicht überschreitet. Das wird erreicht, wenn die Wasserzufuhr Z(t) stets proportional zum momentan noch freien Stauraum $V_{\max }-V\left(t\right)$ gehalten wird, wenn also gilt:
$Z\left(t\right)=V\prime \left(t\right)=r\left(V_{\max }-V\left(t\right)\right)mitV\left(0\right)=V_0$

(Man sieht:
$FürV\left(t\right)<<V_{\max }istZ\left(t\right)groß,fürV\left(t\right)=V_{\max }giltZ\left(t\right)=0.$)

Hierbei handelt es sich um eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung. Man kann diese auch in der Form $V\prime \left(t\right)+rV\left(t\right)=r{V}_{\max }$ schreiben, was der Differenzialgleichung $f\prime \left(x\right)+qf\left(x\right)=smitq=runds=r{V}_{\max }$ entspricht. Ihre allgemeine Lösung lautet $f\left(x\right)=\frac{s}{q}+k{e}^{-qx},$ hier also $V\left(t\right)=V_{\max }+k{e}^{-rt}.$ Um den Parameter k zu bestimmen, muss die Anfangsbedingung eingesetzt werden:
$V\left(0\right)=V_0=V_{\max }+k{e}^{-r\cdot 0}=V_{\max }+k\Rightarrow k=V_0-V_{\max }bzw.k=-\left(V_{\max }-V_0\right)$

Die Lösung des Anfangswertproblems lautet somit:
$V\left(t\right)=V_{\max }-\left(V_{\max }-V_0\right)e^{-rt}$