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  6. Terminologie der Differenzialgleichungen

Terminologie der Differenzialgleichungen

Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der Ableitungen unbekannter Funktionen auftreten. Handelt es sich bei den Funktionen um Funktionen einer Veränderlichen, so nennt man die Differenzialgleichungen „gewöhnliche Differenzialgleichungen“, bei mehreren Veränderlichen „partielle Differenzialgleichungen“.

Beispiele für gewöhnliche Differenzialgleichungen sind x   y ′ − y + c     x = 0 oder auch y ″ = c   y .

Die Theorie der Differenzialgleichungen untersucht, ob es eine oder mehrere Funktionen gibt, die (in die Differenzialgleichung eingesetzt) diese für jeden Wert der Variablen erfüllen und wie diese Funktion bzw. diese Funktionen gefunden werden können. Für einige Typen von Differenzialgleichungen lassen sich exakte Verfahren zum Auffinden von Lösungen angeben, sonst müssen Näherungsverfahren oder numerische Verfahren verwendet werden. Für numerische Verfahren werden auf modernen Rechenanlagen leistungsfähige Programme angeboten.

Durch Differenzialgleichungen lassen sich gewisse physikalische Gesetzmäßigkeiten gut darstellen, z.B. Schwingungs- und Strömungsvorgänge.
Im Folgenden werden einige wichtige Begriffe aus der Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen erläutert.

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Die Lösung einer Differenzialgleichung heißt Integral der Differenzialgleichung. Integrieren einer Differenzialgleichung heißt, alle Funktionen zu finden, die für alle Werte der Variablen der Differenzialgleichung genügen. Das übliche Integrieren im Sinne der Integralrechnung wird Quadratur genannt.

Die höchste in einer Differenzialgleichung vorkommende Ableitung bestimmt die Ordnung der Differenzialgleichung. Durch F ( x ,   y ,   y ′ ,   y ″ ,..., y ( n ) ) = 0 ist also eine gewöhnliche Differenzialgleichung n-ter Ordnung charakterisiert.
Treten Potenzen der Ableitungen und/oder der Funktion auf, so bezeichnet die höchste Potenz den Grad der Differenzialgleichung.

Beispiel

Die Gleichung ( y ″ ) 3 + a y ′ + y = 0 ist eine gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung vom 3. Grade.

Gewöhnliche Differenzialgleichungen heißen linear, wenn die Ableitungen und die Funktion nicht als Argument von Funktionen auftreten. Eine solche lineare Differenzialgleichung heißt lineare homogene Differenzialgleichung, wenn sie keinen von y und y ′ freien Summanden enthält.

Die Gleichung ( a x + b )   y ′ + ( c x + d )   y = 0 ist also eine lineare homogene Differenzialgleichung; bei Ersetzung von 0 durch eine Konstante oder einen Ausdruck der Veränderlichen x läge eine lineare inhomogene Differenzialgleichung vor.

Die Gleichung y ( n ) = f ( x , y , y ′ ,..., y ( n   −   1 ) ) ist die explizite Form einer gewöhnlichen Differenzialgleichung n-ter Ordnung. Ist eine solche Darstellung nicht möglich, ist also F ( x , y , y ′ ,..., y ( n ) ) = 0, so heißt die Darstellung implizit.

Um aus den Kurvenscharen, die die Integrale liefern – Existenz vorausgesetzt – eine spezielle Kurve auszuwählen (eine partikuläre Lösung), kann für gewöhnliche Differenzialgleichungen 1. Ordnung ein Anfangwert – gegeben durch die Koordinaten eines Punktes der Lösungskurve – vorgeschrieben werden, für Differenzialgleichungen 2.Ordnung ein Anfangswert und die Tangentenrichtung in diesem Punkt, für eine Differenzialgleichung 3. Ordnung zusätzlich zu Anfangspunkt und Tangentenrichtung in diesem Punkt die Krümmung der Integralkurve in dem Punkt usw. Das Bestimmen einer solchen partikulären Lösung heißt Lösen eines Anfangswertproblems.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Terminologie der Differenzialgleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/terminologie-der-differenzialgleichungen (Abgerufen: 29. June 2025, 19:17 UTC)

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Richtungsfeld einer Differenzialgleichung

Gewöhnliche Differenzialgleichungen beschreiben Kurvenscharen in der Ebene. Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung ordnet jedem Punkt der xy-Ebene einen Wert zu (vorausgesetzt, dass für den Punkt ein Wert definiert ist), welcher der Richtung der Tangente der Integralkurve in diesem Punkt entspricht, ein sogenanntes Linienelement.
Die Gesamtheit der Linienelemente ist das durch die Differenzialgleichung beschriebene Richtungsfeld. Das Bestimmen der Lösung der Differenzialgleichung ist das Bestimmen der Kurven, die auf dieses Richtungsfeld „passen“.

Differenzen- und Differenzialgleichungen

Gleichungen als typisches Arbeitsmittel und zugleich bedeutsamer Arbeitsgegenstand der Mathematik treten in der Schulmathematik vor allem als lineare, quadratische, goniometrische und Wurzelgleichungen auf. Sie werden zur Berechnung von Funktionswerten für gegebene Argumente, zur Bestimmung der Nullstellen und zur Ermittlung von Extrempunkten von Funktionen, zur analytischen Untersuchung von Eigenschaften geometrischer Gebilde u.a. genutzt. In allen diesen Fällen handelt es sich um Gleichungen, deren Lösungen Zahlen oder Größen sind.

Differenzen- und Differenzialgleichungen sind von anderer Natur, denn sie besitzen als Lösungen Folgen bzw. Funktionen. Dennoch sind sie uns nicht ganz unbekannt. So kann beispielsweise eine geometrische Folge explizit durch a i = s ⋅ q i ,   i ∈ ℕ ,   q , s ∈ ℝ beschrieben werden, aber auch durch die rekursive Bildungsvorschrift a 0 = s     u n d     a i     +   1 = q ⋅ a i ,   i ∈ ℕ .

Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

In einem Gleichstromkreis befindet sich eine Spannungsquelle mit der Spannung U 0 ein ohmscher Widerstand R und ein Kondensator mit der Kapazität C.
Wird Spannung angelegt, so fließt über den Widerstand R ein Strom I zum Kondensator und lädt ihn auf. Dabei wächst die Kondensatorspannung U C = Q C .

Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung U R = I ⋅ R ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also U 0 = U R + U C = I R + Q C , woraus mit I = d Q d   t folgt:
U 0 = R d Q d   t + Q C   b z w .   d Q d   t + Q R C = U 0 R

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form f ′ ( x ) + q   f ( x ) = s mit den Koeffizienten q = 1 R C   u n d   s = U 0 R sowie der gesuchten Funktion Q = Q ( t ) , die im Folgenden zu lösen ist.

Lösen von linearen inhomogenen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mittels Variation der Konstanten

Die Gleichung y ′ + f ( x ) y + g ( x ) = 0 ist die allgemeine Form einer linearen inhomogenen Differenzialgleichung 1. Ordnung.
Mit Variation der Konstanten wird eine Methode zum Integrieren dieser Gleichung bezeichnet. Die Vorgehensweise besteht darin, zuerst die zugehörige homogene Differenzialgleichung zu lösen, d.h., das Glied g(x) zu vernachlässigen. In diese Lösung geht ein freier Parameter c ein. Dieser wird dann als Funktion von x betrachtet und so bestimmt, dass die so modifizierte Lösung der linearen homogenen Differenzialgleichung der inhomogenen genügt.

Anwendungen von Differenzengleichungen

Differenzengleichungen bieten einen elementaren mathematischen Zugang zu anspruchsvollen praktischen Fragestellungen, z.B. aus der Populationsdynamik, der Finanzmathematik und der Technik. Das Bearbeiten von Differenzengleichungen umfasst im Wesentlichen das Abarbeiten von iterativen Berechnungsverfahren und rekursiven Bildungsvorschriften, das Finden expliziter Bildungsvorschriften für Folgen, das Lösen von Gleichungssystemen und ähnliche elementare Anforderungen.
Als Beispiele werden aus der Finanzmathematik Ratensparen, Guthabenverrentung und Annuitätendarlehen, aus der Technik die Temperaturanpassung an eine Umgebungstemperatur behandelt.

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