Terminologie der Differenzialgleichungen
Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der Ableitungen unbekannter Funktionen auftreten. Handelt es sich bei den Funktionen um Funktionen einer Veränderlichen, so nennt man die Differenzialgleichungen „gewöhnliche Differenzialgleichungen“, bei mehreren Veränderlichen „partielle Differenzialgleichungen“.
Beispiele für gewöhnliche Differenzialgleichungen sind oder auch .
Die Theorie der Differenzialgleichungen untersucht, ob es eine oder mehrere Funktionen gibt, die (in die Differenzialgleichung eingesetzt) diese für jeden Wert der Variablen erfüllen und wie diese Funktion bzw. diese Funktionen gefunden werden können. Für einige Typen von Differenzialgleichungen lassen sich exakte Verfahren zum Auffinden von Lösungen angeben, sonst müssen Näherungsverfahren oder numerische Verfahren verwendet werden. Für numerische Verfahren werden auf modernen Rechenanlagen leistungsfähige Programme angeboten.
Durch Differenzialgleichungen lassen sich gewisse physikalische Gesetzmäßigkeiten gut darstellen, z.B. Schwingungs- und Strömungsvorgänge.
Im Folgenden werden einige wichtige Begriffe aus der Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen erläutert.
Die Lösung einer Differenzialgleichung heißt Integral der Differenzialgleichung. Integrieren einer Differenzialgleichung heißt, alle Funktionen zu finden, die für alle Werte der Variablen der Differenzialgleichung genügen. Das übliche Integrieren im Sinne der Integralrechnung wird Quadratur genannt.
Die höchste in einer Differenzialgleichung vorkommende Ableitung bestimmt die Ordnung der Differenzialgleichung. Durch ist also eine gewöhnliche Differenzialgleichung n-ter Ordnung charakterisiert.
Treten Potenzen der Ableitungen und/oder der Funktion auf, so bezeichnet die höchste Potenz den Grad der Differenzialgleichung.
Beispiel
Die Gleichung ist eine gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung vom 3. Grade.
Gewöhnliche Differenzialgleichungen heißen linear, wenn die Ableitungen und die Funktion nicht als Argument von Funktionen auftreten. Eine solche lineare Differenzialgleichung heißt lineare homogene Differenzialgleichung, wenn sie keinen von y und freien Summanden enthält.
Die Gleichung ist also eine lineare homogene Differenzialgleichung; bei Ersetzung von 0 durch eine Konstante oder einen Ausdruck der Veränderlichen x läge eine lineare inhomogene Differenzialgleichung vor.
Die Gleichung ist die explizite Form einer gewöhnlichen Differenzialgleichung n-ter Ordnung. Ist eine solche Darstellung nicht möglich, ist also so heißt die Darstellung implizit.
Um aus den Kurvenscharen, die die Integrale liefern – Existenz vorausgesetzt – eine spezielle Kurve auszuwählen (eine partikuläre Lösung), kann für gewöhnliche Differenzialgleichungen 1. Ordnung ein Anfangwert – gegeben durch die Koordinaten eines Punktes der Lösungskurve – vorgeschrieben werden, für Differenzialgleichungen 2.Ordnung ein Anfangswert und die Tangentenrichtung in diesem Punkt, für eine Differenzialgleichung 3. Ordnung zusätzlich zu Anfangspunkt und Tangentenrichtung in diesem Punkt die Krümmung der Integralkurve in dem Punkt usw. Das Bestimmen einer solchen partikulären Lösung heißt Lösen eines Anfangswertproblems.
