Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)

Die Gleichung des logistischen Wachstums wurde erstmals von VERHULST und PEARL im Jahre 1838 verwendet.

Da sich in beiden Wachstumsfällen die Änderung $\Delta N$ auf einen bestimmten Zeitraum, z.B. $\Delta t=1\text{ Jahr}$, bezieht, spielt die Art des Populationswachstums innerhalb dieses Zeitraums keine Rolle. Es könnte sich - wie bei Bakterien - um ein kontinuierliches Wachstum handeln.
Möglich wäre aber auch, dass ein an einen Lebenszyklus gebundenes diskontinuierliches Populationswachstum - wie bei Schmetterlingen - vorliegt. Im Falle des kontinuierlichen Wachstums kann man von der Differenzengleichung zu einer Differenzialgleichung übergehen.

Lösen der Differenzialgleichung des unbeschränkten Wachstums

Die Gleichung $N\prime \left(t\right)=rN\left(t\right),\text{ r}\in ℝ\text{, r}>\text{0}$ ist eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Ihre allgemeine Lösung erhält man durch Trennen der Variablen:
$\begin{array}{l}DieGleichungwirdinderForm\frac{dN}{dt}=rN(t)geschrieben.\\ 1.TrennenderVariablen\text{‌}:\frac{dN}{N(t)}=rdt\\ 2.Integrieren\text{‌}:{\displaystyle \int \frac{dN}{N(t)}=r{\displaystyle \int dtunddamit}}\\ In\text{ N}=rt+c^{\prime },c^{\prime }\in ℝbel.\\ 3.UmstellennachN(t)\text{‌}:e^{\ln N}=N(t)=e^{r\cdot t+c^{\prime }}=e^{c^{\prime }}\cdot e^{r\cdot t}=c{e}^{r\cdot t}\\ mit{e}^{c^{\prime }}=c,c\in ℝ,c>0\end{array}$
Allgemeine Lösungsfunktion ist also $N\left(t\right)=c{e}^{r\cdot t}$.
Gilt die Anfangsbedingung $N\left(0\right)=N_0$, so erhält man $N\left(0\right)=c{e}^0=c$. Die Lösung des Anfangswertproblems ist daher $N\left(t\right)=N_0{e}^{r\cdot t}$.

Lösen der Differenzialgleichung des logistischen Wachstums

Die Differentialgleichung $N\prime \left(t\right)=r\cdot \left(1-\frac{N\left(t\right)}{G}\right)\cdot N\left(t\right)$ des logistischen Wachstums ist zwar auch von 1. Ordnung, aber nicht linear. Sie wird ebenfalls durch Trennen der Variablen gelöst:

1. Trennen der Variablen:

$N\prime \left(t\right)=\frac{dN}{dt}=r\cdot \left(1-\frac{N\left(t\right)}{G}\right)\cdot N\left(t\right),\text{ N}\left(\text{0}\right)=N_0$
$\frac{dN}{\left(1-\frac{N\left(t\right)}{G}\right)\cdot N\left(t\right)}=r\cdot dt$

2. Integrieren:
${\displaystyle \int \frac{1}{\left(1-\frac{N}{G}\right)\cdot N}}dN=\int rdt=rt+c$

Das Integral auf der linken Seite lässt sich mittels Partialbruchzerlegung bestimmen.
Man erhält:
$\frac{1}{\left(1-\frac{N}{G}\right)\cdot N}=\frac{1}{G-N}+\frac{1}{N}$, also ${\displaystyle \int \frac{1}{G-N}dN+{\displaystyle \int \frac{1}{N}dN=-\ln (G-N)+\ln N=\ln \frac{N}{G-N}=r\cdot t+c}}$
(Alle Integrationskonstanten werden auf der rechten Seite zusammengefasst.)

Daraus folgt: $e^{\ln \frac{N}{G-N}}=\frac{N}{G-N}=e^{rt+c}=q\cdot e^{rt}\text{mit }q=e^c$
bzw. $N=\left(G-N\right)\cdot q\cdot e^{rt}$
und damit $N=\frac{G\cdot q\cdot e^{rt}}{1+q\cdot e^{rt}},q\in ℝ,\text{ q}>0$.

Bestimmen des Parameters q: $N_0=N\left(0\right)=\frac{G\cdot q}{4+q}\Rightarrow q=\frac{N_0}{G-N_0}\Rightarrow N\left(t\right)=\frac{G{N}_0{e}^{rt}}{G-N_0+N_0{e}^{rt}}$

Für die Werte $r=\mathrm{0,5}{a}^{-1}$ (a ist die Zeiteinheit 1 Jahr) und $G=100$ sind partikuläre Lösungen der Differenzialgleichungen des unbeschränkten $\left(N_0=4\right)$ und des logistischen Wachstums $\left(N_0=4\text{ und }{N}_0=150\right)$ in der folgenden Abbildung dargestellt.