Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)

Eine Population bestehe aus N Individuen. Nach einer Zeit $Δ t$ ist eine Änderung $Δ N$ mit $Δ N = N (t + Δ t) - N (t)$ des Populationsumfangs N zu verzeichnen. Kann die Population ohne Beschränkung wachsen, so ist die Änderung proportional zum Ausgangsumfang – je mehr Individuen vorhanden sind, desto mehr Nachwuchs stellt sich ein. Es gilt also $Δ N \sim N oder Δ N = k N$ (unbeschränktes Wachstum), wobei k als Wachstumsrate (bei unbeschränktem Wachstum) bezeichnet wird.
Ist das Wachstum durch eine Obergrenze G der Individuenzahl beschränkt, so wird sich bei noch kleiner Individuenzahl ein annähernd unbeschränktes Wachstum einstellen, mit wachsender Zahl N wird die Wachstumsrate jedoch kleiner, um schließlich bei $N = G$ den Wert 0 anzunehmen. Eine Beschränkung kommt beispielsweise zustande, wenn die Population in einem isolierten Gebiet lebt, in dem sich höchstens G Individuen ernähren können.

Die modifizierte Wachstumsrate
$k_{b} = k (1 - \frac{N}{G})$
weist das erwartete Verhalten auf.

Als Differenzengleichung ergibt sich
$Δ N = k_{b} \cdot N = k \cdot (1 - \frac{N}{G}) \cdot N$
(logistisches Wachstum).

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Die Gleichung des logistischen Wachstums wurde erstmals von VERHULST und PEARL im Jahre 1838 verwendet.

Da sich in beiden Wachstumsfällen die Änderung $Δ N$ auf einen bestimmten Zeitraum, z.B. $Δ t = 1 Jahr$ , bezieht, spielt die Art des Populationswachstums innerhalb dieses Zeitraums keine Rolle. Es könnte sich - wie bei Bakterien - um ein kontinuierliches Wachstum handeln.
Möglich wäre aber auch, dass ein an einen Lebenszyklus gebundenes diskontinuierliches Populationswachstum - wie bei Schmetterlingen - vorliegt. Im Falle des kontinuierlichen Wachstums kann man von der Differenzengleichung zu einer Differenzialgleichung übergehen.

Lösen der Differenzialgleichung des unbeschränkten Wachstums

Die Gleichung $N' (t) = r N (t), r \in ℝ, r > 0$ ist eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Ihre allgemeine Lösung erhält man durch Trennen der Variablen:
$\begin{array}{l} D i e G l e i c h u n g w i r d i n d e r F o r m \frac{d N}{d t} = r N (t) g e s c h r i e b e n . \\ 1. T r e n n e n d e r V a r i a b l e n ‌ : \frac{d N}{N (t)} = r d t \\ 2. I n t e g r i e r e n ‌ : \int \frac{d N}{N (t)} = r \int d t u n d d a m i t \\ I n N = r t + c^{'}, c^{'} \in ℝ b e l . \\ 3. U m s t e l l e n n a c h N (t) ‌ : e^{\ln N} = N (t) = e^{r \cdot t + c^{'}} = e^{c^{'}} \cdot e^{r \cdot t} = c e^{r \cdot t} \\ m i t e^{c^{'}} = c, c \in ℝ, c > 0 \end{array}$
Allgemeine Lösungsfunktion ist also $N (t) = c e^{r \cdot t}$ .
Gilt die Anfangsbedingung $N (0) = N_{0}$ , so erhält man $N (0) = c e^{0} = c$ . Die Lösung des Anfangswertproblems ist daher $N (t) = N_{0} e^{r \cdot t}$ .

Lösen der Differenzialgleichung des logistischen Wachstums

Die Differentialgleichung $N' (t) = r \cdot (1 - \frac{N (t)}{G}) \cdot N (t)$ des logistischen Wachstums ist zwar auch von 1. Ordnung, aber nicht linear. Sie wird ebenfalls durch Trennen der Variablen gelöst:

1. Trennen der Variablen:

$N' (t) = \frac{d N}{d t} = r \cdot (1 - \frac{N (t)}{G}) \cdot N (t), N (0) = N_{0}$
$\frac{d N}{(1 - \frac{N (t)}{G}) \cdot N (t)} = r \cdot d t$

2. Integrieren:
$\int \frac{1}{(1 - \frac{N}{G}) \cdot N} d N = \int r d t = r t + c$

Das Integral auf der linken Seite lässt sich mittels Partialbruchzerlegung bestimmen.
Man erhält:
$\frac{1}{(1 - \frac{N}{G}) \cdot N} = \frac{1}{G - N} + \frac{1}{N}$ , also $\int \frac{1}{G - N} d N + \int \frac{1}{N} d N = - \ln (G - N) + \ln N = \ln \frac{N}{G - N} = r \cdot t + c$
(Alle Integrationskonstanten werden auf der rechten Seite zusammengefasst.)

Daraus folgt: $e^{\ln \frac{N}{G - N}} = \frac{N}{G - N} = e^{r t + c} = q \cdot e^{r t} mit q = e^{c}$
bzw. $N = (G - N) \cdot q \cdot e^{r t}$
und damit $N = \frac{G \cdot q \cdot e^{r t}}{1 + q \cdot e^{r t}}, q \in ℝ, q > 0$ .

Bestimmen des Parameters q: $N_{0} = N (0) = \frac{G \cdot q}{4 + q} \Rightarrow q = \frac{N_{0}}{G - N_{0}} \Rightarrow N (t) = \frac{G N_{0} e^{r t}}{G - N_{0} + N_{0} e^{r t}}$

Für die Werte $r = 0,5 a^{- 1}$ (a ist die Zeiteinheit 1 Jahr) und $G = 100$ sind partikuläre Lösungen der Differenzialgleichungen des unbeschränkten $(N_{0} = 4)$ und des logistischen Wachstums $(N_{0} = 4 und N_{0} = 150)$ in der folgenden Abbildung dargestellt.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/unbeschraenktes-und-logistisches-wachstum (Abgerufen: 21. May 2025, 02:28 UTC)

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Lösen von linearen inhomogenen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mittels Variation der Konstanten

Die Gleichung $y^{'} + f (x) y + g (x) = 0$ ist die allgemeine Form einer linearen inhomogenen Differenzialgleichung 1. Ordnung.
Mit Variation der Konstanten wird eine Methode zum Integrieren dieser Gleichung bezeichnet. Die Vorgehensweise besteht darin, zuerst die zugehörige homogene Differenzialgleichung zu lösen, d.h., das Glied g(x) zu vernachlässigen. In diese Lösung geht ein freier Parameter c ein. Dieser wird dann als Funktion von x betrachtet und so bestimmt, dass die so modifizierte Lösung der linearen homogenen Differenzialgleichung der inhomogenen genügt.

Das Runge-Kutta-Verfahren

Soll eine explizite Differenzialgleichung $f' (x) = G (x; f (x))$ mit der Anfangsbedingung $f (x_{0}) = y_{0}$ numerisch nach dem Polygonzugverfahren gelöst werden, so benutzt man die Differenzengleichung $\bar{f} (x + h) = \bar{f} (x) + h \cdot G (x; \bar{f} (x))$ .

Dabei ist $\bar{y} = \bar{f} (x)$ eine Näherung für die eigentlich gesuchte Funktion $y = f (x) .$

Bei Übergang zur Darstellung der Differenzengleichung als iterative Bildungsvorschrift ergibt sich ${\bar{y}}_{i + 1} = {\bar{y}}_{i} + h \cdot G (x_{i}; {\bar{y}}_{i})$ bzw. ${\bar{y}}_{i + 1} = {\bar{y}}_{i} + h \cdot m_{i}^{(p o l y)} {mit m}_{i}^{(p o l y)} = G (x_{i}; {\bar{y}}_{i})$ .

Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Die einfache lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung $f' (x) + f (x) - x = 0$ lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wird die Differenzialgleichung nämlich in die Form $f' (x) = x - y$ gebracht, so erkennt man, dass sich die rechte Seite nicht als Produkt $g (x) \cdot h (y)$ schreiben lässt, was Voraussetzung für das Trennen der Variablen ist.
Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann jedoch ausgehend von der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung gefunden werden.

Anwendungen von Differenzengleichungen

Differenzengleichungen bieten einen elementaren mathematischen Zugang zu anspruchsvollen praktischen Fragestellungen, z.B. aus der Populationsdynamik, der Finanzmathematik und der Technik. Das Bearbeiten von Differenzengleichungen umfasst im Wesentlichen das Abarbeiten von iterativen Berechnungsverfahren und rekursiven Bildungsvorschriften, das Finden expliziter Bildungsvorschriften für Folgen, das Lösen von Gleichungssystemen und ähnliche elementare Anforderungen.
Als Beispiele werden aus der Finanzmathematik Ratensparen, Guthabenverrentung und Annuitätendarlehen, aus der Technik die Temperaturanpassung an eine Umgebungstemperatur behandelt.

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