Richtungsfeld einer Differenzialgleichung

Gewöhnliche Differenzialgleichungen beschreiben Kurvenscharen in der Ebene. Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung ordnet jedem Punkt der xy-Ebene einen Wert zu (vorausgesetzt, dass für den Punkt ein Wert definiert ist), welcher der Richtung der Tangente der Integralkurve in diesem Punkt entspricht, ein sogenanntes Linienelement.
Die Gesamtheit der Linienelemente ist das durch die Differenzialgleichung beschriebene Richtungsfeld. Das Bestimmen der Lösung der Differenzialgleichung ist das Bestimmen der Kurven, die auf dieses Richtungsfeld „passen“.

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Durch die explizite Differenzialgleichung 1. Ordnung $y^{'} = f (x, y)$ sei für jeden Punkt $P (x_{0}; y_{0})$ ein Wert definiert, nämlich $f (x_{0}; y_{0})$ , er beschreibt den Anstieg der Integralkurve in diesem Punkt: $y^{'} (x_{0}; y_{0}) = f (x_{0}; y_{0})$
Durch $y^{'} = c o n s t .$ werden Kurven mit gleichen Linienelementen (oder Richtungselementen) beschrieben, sogenannte Isoklinen oder Neigungslinien.

Beispiel: Die Differenzialgleichung $(2 y - x^{2}) d x + d y = 0$ lautet in expliziter Darstellung $y^{'} = x^{2} - 2 y$ .
Isoklinen ergeben sich für $y^{'} = c_{1}, a l s o x^{2} - 2 y = c_{1}$ . Das sind die Parabeln $y = \frac{1}{2} x^{2} + c$ , also gestauchte, nach oben geöffnete Parabeln symmetrisch zur y-Achse.

Die Isoklinen von $y y^{'} - x = 0$ ergeben sich $\frac{x}{y} = c, y \neq 0, a l s o y = \frac{x}{c}$ .
Die Isoklinen sind Halbgeraden.

$y' = - \frac{1}{4} \frac{x}{y}, y \neq 0,$ soll im 1. Quadraten betrachtet werden.
Die Isoklinen sind $y = - \frac{1}{4 c} x$ .

Eine grobe Näherung für die Integralkurve erhielte man, wenn man einen Polygonzug dem Richtungsfeld anpasst.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Richtungsfeld einer Differenzialgleichung ." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/richtungsfeld-einer-differenzialgleichung (Abgerufen: 30. June 2025, 07:43 UTC)

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Dabei ist $\bar{y} = \bar{f} (x)$ eine Näherung für die eigentlich gesuchte Funktion $y = f (x) .$

Bei Übergang zur Darstellung der Differenzengleichung als iterative Bildungsvorschrift ergibt sich ${\bar{y}}_{i + 1} = {\bar{y}}_{i} + h \cdot G (x_{i}; {\bar{y}}_{i})$ bzw. ${\bar{y}}_{i + 1} = {\bar{y}}_{i} + h \cdot m_{i}^{(p o l y)} {mit m}_{i}^{(p o l y)} = G (x_{i}; {\bar{y}}_{i})$ .

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Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung $U_{R} = I \cdot R$ ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also $U_{0} = U_{R} + U_{C} = I R + \frac{Q}{C},$ woraus mit $I = \frac{d Q}{d t}$ folgt:
$U_{0} = R \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{C} b z w . \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{R C} = \frac{U_{0}}{R}$

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form $f' (x) + q f (x) = s$ mit den Koeffizienten $q = \frac{1}{R C} u n d s = \frac{U_{0}}{R}$ sowie der gesuchten Funktion $Q = Q (t)$ , die im Folgenden zu lösen ist.

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