Erwartungswert von Zufallsgrößen

In Übereinstimmung mit den praktischen Erfahrungen und den Erkenntnissen des empirischen Gesetzes der großen Zahlen kann der Erwartungswert auch verstanden werden als der sich auf lange Sicht stabilisierende Mittelwert aller registrierten $x_i\text{-Werte}$ aus einer langen Reihe unabhängiger Realisierungen einer endlichen Zufallsgröße X.

Der Erwartungswert EX lässt sich auch als ein Schwerpunkt (im Sinne der Mechanik) interpretieren. Dazu fasst man die Wahrscheinlichkeitsverteilung von
$X\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \mathrm{...}& x_n\\ p_1& p_2& \mathrm{...}& p_n\end{array}\right)$
als Verteilung der Masse 1 auf die Punkte $x_i$ eines masselosen Waagebalkens auf, wobei jedem Punkt $x_i$ die Masse $p_i=P\left(X=x_i\right)$ zugeordnet wird.

Es sei $\mu$ der Schwerpunkt dieser Masseverteilung. Dann muss (in Verallgemeinerung des Hebelgesetzes) die Summe aller Drehmomente bezüglich $\mu$ gleich null sein:
$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i-\mu \right)\cdot p_i}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i\cdot p_i-\mu \cdot p_i\right)}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i\cdot p_i}-\mu \cdot {\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}=EX-\mu \cdot 1=0\\ \Rightarrow \mu =EX\end{array}$

Der Waagebalken befindet sich genau dann im Gleichgewicht, wenn er im Punkt EX unterstützt wird. Der Erwartungswert ist also als Schwerpunkt einer Masseverteilung interpretierbar.

Um die Vorstellungen vom Wesen des Erwartungswertes einer endlichen Zufallsgröße zu vertiefen, kann es hilfreich sein, interaktiv das Verhältnis der Werte einer Zufallsgröße zu ihrem Erwartungswert zu analysieren. Wir betrachten dazu als Beispiel:
Beispiel: $X\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ \mathrm{0,70}& \mathrm{0,10}& 0& 0& \mathrm{0,20}\end{array}\right)$

X ist in der folgenden Abbildung durch ein Stabdiagramm dargestellt und der Erwartungswert von X durch ein Kreuz gekennzeichnet.

Es gilt $EX=\mathrm{1,9}$ wie die Berechnung mittels eines Programmes für TI-92 zeigt.

Aus obigem Beispiel kann man entnehmen, dass der Erwartungswert nicht sein muss

1. ein Wert der Zufallsgröße X;
2. der wahrscheinlichste Wert der Zufallsgröße X;
3. der Wert in der Mitte aller Werte der Zufallsgröße;
4. ein Wert mit der Bedingung $P\left(X\le EX\right)=P\left(X\ge EX\right)=\mathrm{0,5}$.

Für die Erwartungswerte endlicher Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechenregeln:

• $E\left(a\cdot X+b\right)=a\cdot EX+b\left(a,b\in ℝ\right)$
• $E\left(X+Y\right)=EX+EY$
• $E\left(X\cdot Y\right)=EX\cdot EY$
  (wenn X und Y voneinander stochastisch unabhängig sind)

Der Begriff des Erwartungswertes kann ausgedehnt werden auf diskrete, aber nicht endliche, sowie auf stetige Zufallsgrößen.

• Ist X eine diskrete, aber nicht endliche Zufallsgröße, d.h. besitzt X abzählbar unendlich viele Werte $x_1,x_2,\mathrm{...,}{x}_n,\mathrm{...}$, so gilt
  $EX={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{x}_i\cdot P\left(X=x_i\right)}$
  (falls diese Summe existiert).

Wir betrachten dazu das folgende Beispiel.

Beispiel: Ein LAPLACE-Tetraeder werde so oft geworfen, bis die erste Vier erscheint.
Welche Anzahl von Würfen ist zu erwarten?

Es ist
$X\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& \mathrm{...}\\ \frac{1}{4}& \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}& {\left(\frac{3}{4}\right)}^2\cdot \frac{1}{4}& \mathrm{...}\end{array}\right)$
und
$\begin{array}{l}EX={{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i\cdot \left(\frac{3}{4}\right)}}^{i-1}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cdot {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\frac{d}{dx}}{x}^i|\begin{array}{c}\\ {}_{x=\frac{3}{4}}\end{array}=\frac{1}{4}\cdot \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}|\begin{array}{c}\\ {}_{x=\frac{3}{4}}\end{array}\\ =\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}|\begin{array}{c}\\ {}_{x=\frac{3}{4}}\end{array}=4\end{array}$

Man erwartet also die erste Vier „im Mittel“ nach vier Würfen.
Mithilfe moderner Taschencomputer kann EX auch ohne Differenzialrechnung ermittelt werden.

• Ist X eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion f, so besitzt sie den Erwartungswert
  $EX={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x\cdot f\left(x\right)}dx$
  (falls das Integral existiert).

Auch hierzu soll wieder ein Beispiel angefügt werden.

Beispiel: Anja verspricht zwischen 18.30 und 19.00 Uhr einzutreffen.
Wann ist sie zu erwarten?

Man kann davon ausgehen, dass Anja kein Zeitintervall für ihr Eintreffen bevorzugt. So ergibt sich eine Gleichverteilung auf dem Intervall $\left[0;30\right]$, d.h. eine Dichtefunktion f mit
$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{30}& für0\le x\le 30\\ 0& sonst.\end{array}$

Für den Erwartungswert gilt dann:
$EX={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left[x\cdot f\left(x\right)\right]}dx={\displaystyle \underset{0}{\overset{30}{\int }}\left[x\cdot \frac{1}{30}\right]}dx=\frac{1}{30}\cdot \left[\frac{1}{2}{x}^2\right]\begin{array}{c}{}^{30}\\ {}_0\end{array}=15$

Die zu erwartende Ankunftszeit ist demnach 18.45 Uhr.