Unabhängigkeit von Zufallsgrößen

Der berühmte russische Mathematiker A. N. KOLMOGOROW (1903 bis 1987) warf in seiner grundlegenden Arbeit zur Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus dem Jahre 1933 die Frage auf, wie es möglich ist, dass sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung in eine große, ihre eigenen Methoden besitzende selbstständige Wissenschaft entwickelt hat, wenn es sich bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung doch lediglich um eine spezielle (additive) Funktion handelt, die einem Ereignis eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet.

KOLMOGOROW gelangte zu dem Schluss, dass geschichtlich betrachtet der mathematische Begriff der Unabhängigkeit von Zufallsexperimenten und zufälligen Größen derjenige ist, welcher der Wahrscheinlichkeitsrechnung ihr eigenartiges Gepräge gibt. Denkt man nur an solche fundamentalen Gegenstände der Stochastik, wie BERNOULLI-Ketten, den Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE und den zentralen Grenzwertsatz, so werden mit ihnen vor allem Aussagen über Folgen unabhängiger Zufallsgrößen gemacht.

Für die Definition der Unabhängigkeit von Zufallsgrößen nutzt man die Ansätze und Erkenntnisse, die im Zusammenhang mit dem Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen gewonnen wurden, indem die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen als Unabhängigkeit von Ereignissen interpretiert wird.

• Definition: Es seien
  $X\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \mathrm{...}& x_m\\ p_1& p_2& \mathrm{...}& p_m\end{array}\right)$ und $Y\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& \mathrm{...}& y_n\\ q_1& q_2& \mathrm{...}& q_n\end{array}\right)$
  zwei endliche Zufallsgrößen.
  Sind die Ereignisse $\left\{X=x_i\right\}und\left\{Y=y_j\right\}$ für alle i, j unabhängig, d.h. gilt
  $\begin{array}{l}{p}_{ij}=P\left(\left\{X=x_i\right\}\cap \left\{Y=y_j\right\}\right)=p_i\cdot q_j\\ füri=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...},mundj=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}n,\end{array}$
  dann heißen die Zufallsgrößen X und Y unabhängig.

Das Vorgehen bei obiger Definition ist leicht nachzuvollziehen und verständlich. Und doch hat es einen Nachteil: Es ist schlecht verallgemeinerbar, z.B. auf stetige Zufallsgrößen. Man definiert deshalb auch allgemeiner:

• Definition: Die stetigen Zufallsgrößen X, Y heißen unabhängig, wenn für alle $x,y\in ℝ$ die Ereignisse $\left\{X\le x\right\}und\left\{Y\le y\right\}$ unabhängig sind.

Wichtig ist, dass im Fall endlicher Zufallsgrößen beide Definitionen äquivalent sind (was hier allerdings nicht bewiesen werden soll). Dies gewährleistet die innere Geschlossenheit der theoretischen Konstruktion.

Anwendungen zur Unabhängigkeit von Zufallsgrößen

• Für unabhängige Zufallsgrößen X und Y gilt:
  $E\left(X\cdot Y\right)=E\left(X\right)\cdot E\left(Y\right)$

Beweis (für endliche Zufallsgrößen X, Y):
$\begin{array}{l}E\left(X\cdot Y\right)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}1\le i\le m\\ 1\le j\le n\end{array}}{x}_i\cdot y_j\cdot p_i{}_j}={\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}1\le i\le m\\ 1\le j\le n\end{array}}{x}_i\cdot y_j\cdot p_i\cdot q_j}\\ =\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m{x}_i\cdot p_i}\right)\cdot \left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{y}_j\cdot q_j}\right)=E\left(X\right)\cdot E\left(Y\right)w.z.b.w.\end{array}$

Anmerkung: Die Beziehung $E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$ gilt für beliebige Zufallsgrößen.

• Für unabhängige Zufallsgrößen X und Y gilt:
  $D^2\left(X+Y\right)=D^2\left(X\right)+D^2\left(Y\right)$

Auf den Beweis dieser Aussage wird hier verzichtet.

• Anwendungsbeispiel: Mit zwei LAPLACE-Würfeln wird unabhängig voneinander gewürfelt. Die Augensumme $X_1+X_2$ besitzt dann folgende Verteilung:
  $\left(\begin{array}{ccccccccccc}2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \frac{1}{36}& \frac{2}{36}& \frac{3}{36}& \frac{4}{36}& \frac{5}{36}& \frac{6}{36}& \frac{5}{36}& \frac{4}{36}& \frac{3}{36}& \frac{2}{36}& \frac{1}{36}\end{array}\right)$

Das zugehörige Histogramm hat die Gestalt eines Dreiecks bzw. einer stilisierten Glocke.

Aus dem zentralen Grenzwertsatz ist bekannt, dass die Verteilung der Augensumme für hinreichend viele unabhängige Würfelvorgänge mit L-Würfeln annähernd eine Normalverteilung ist, wobei dieses Ergebnis wesentlich aus der Unabhängigkeit der Würfelvorgänge resultiert.

Statt mit L-Würfeln soll nun mit zwei gezinkten Würfeln unabhängig voneinander gewürfelt werden. Die Frage ist dann, ob die maßgeblich von der Unabhängigkeit ausgehende Tendenz zur Normalverteilung durch eine wirksame Zinkung so weit gedämpft werden kann, dass die Augensumme $X_1+X_2$ gleichverteilt ist.

• Beispiel: Für $X_1\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$ und $X_2\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)$
  erhält man das in der folgenden Abbildung dargestellte Histogramm.

An den Rändern zeigt sich tatsächlich eine Tendenz zur Gleichverteilung. Die „Mitte“ sieht allerdings nicht so günstig aus.

Interaktiv kann es mit anderen Zufallsgrößen $X_{1}und{X}_2$ versuchen (siehe folgende Abbildung). Die Bemühungen werden wohl kaum von Erfolg gekrönt sein. Oder doch?