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Erwartungswert

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße charakterisiert deren Verteilung durch Angabe eines mittleren Wertes. Dieser muss unter den Werten der Zufallsgröße selbst nicht vorkommen.

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Auch bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist es (wie bei Häufigkeitsverteilungen) sinnvoll, Mittelwerte zu betrachten. Ein solcher ist der Erwartungswert einer Zufallsgröße, der deren Verteilung durch einen mittleren Wert charakterisiert.

Gegeben sei eine Zufallsgröße X mit folgender Verteilung:
 

Wert x 1 x 2 ... x k
Wahrscheinlichkeit p 1 p 2 ... p k


Dann nennt man die Zahl
  E   ( X ) = x 1 ⋅ p 1 + x 2 ⋅ p 2 + ... + x k ⋅ p k
den Erwartungswert von X.
Der Erwartungswert muss (wie die folgenden Beispiele zeigen) unter den Werten der Zustandsgröße nicht vorkommen.

Beispiel 1:
Als Erwartungswert der Zufallsgröße Augenzahl A beim Werfen eines idealen Würfels ergibt sich:
  E   ( A ) = 1 ⋅ 1 6 + 2 ⋅ 1 6 + 3 ⋅ 1 6 + 4 ⋅ 1 6 + 5 ⋅ 1 6 + 6 ⋅ 1 6                                         = 21 ⋅ 1 6 = 3,5

Beispiel 2:
Es wird mit einem gezinkten Würfel gewürfelt. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl A gelte:
P ( 1 ) = 2 9 P ( 2 ) = P ( 3 ) = P ( 4 ) = P ( 5 ) = 1 6 P ( 6 ) = 1 9

Somit ergibt sich als Erwartungswert:
  E   ( A ) = 1 ⋅ 2 9 + 2 ⋅ 1 6 + 3 ⋅ 1 6 + 4 ⋅ 1 6 + 5 ⋅ 1 6 + 6 ⋅ 1 9                                         = 8 9 + 14 6 = 16 18 + 42 18 = 58 18 ≈ 3,22

Mithilfe des Erwartungswertes lässt sich der Gewinn beim Losverkauf oder einer
Tombola bewerten.

 

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Erwartungswert." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/erwartungswert (Abgerufen: 30. June 2025, 07:43 UTC)

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(wobei p 1 ,       p 2     ...     p k die Wahrscheinlichkeiten der auftretenden Werte x 1 ,       x 2     ...     x k der Zufallsgröße X sind).
Unter der Standardabweichung wird die Wurzel aus der Varianz verstanden.

Jakob Bernoulli

 

JAKOB BERNOULLI, Schweizer Mathematiker
* 27. Dezember 1654 Basel
† 16. August 1705 Basel

JAKOB BERNOULLI gilt als einer der Hauptvertreter der Infinitesimalrechnung und Reihenlehre seiner Zeit. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann entwickelte er den „Leibnizschen Calculus“ weiter.
Mit dem aus seinem Nachlass im Jahre 1713 herausgegebenen Buch „Ars conjectandi“ wurde JAKOB BERNOULLI zum Begründer einer Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Werk wird u. a. die Anwendung der Kombinatorik auf Glücks- und Würfelspiele beschrieben und das Gesetz der großen Zahlen formuliert.

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