Baumdiagramme und Pfadregeln

Dabei verzweigt sich ein stilisierter Baum auf jeder Stufe des Zufallsexperiments in Äste, die den möglichen Ergebnissen bzw. Ereignissen der entsprechenden Stufe des Zufallsexperiments entsprechen, wobei die Verzweigungsstelle mit den entsprechenden Ergebnissen bzw. Ereignissen beschriftet wird. Baumdiagramme werden häufig von links nach rechts, aber nicht selten auch von oben nach unten gezeichnet.

Wir betrachten dazu ein Beispiel:

Beispiel: Axel (A) und Bernd (B) spielen gegeneinander Tischtennis. Sieger ist derjenige, der zuerst zwei Sätze gewonnen hat. Von jedem Satz wird der Gewinner notiert; ein Remis gibt es nicht.

Hierbei handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen auf jeder Stufe. Dieses Zufallsexperiment kann durch das folgende Baumdiagramm veranschaulicht werden.

Das Beispiel zeigt, dass es Baumdiagramme geben kann, die sich bei einem Ergebnis in einer Stufe nicht mehr weiter verzweigen, d.h. bei denen es nach Erreichen dieses Ergebnisses (bzw. Ereignisses) zu keinem weiteren Teilvorgang kommt.

Das Beispiel verdeutlicht auch, dass jedem möglichen Ablauf des k-stufigen Zufallsexperiments ein Pfad des Baumdiagramms entspricht, der – allgemein gesagt – durch ein k-Tupel repräsentiert wird. Die Gesamtheit dieser k-Tupel bilden die zum jeweiligen Zufallsexperiment gehörende Ergebnismenge $\Omega$.

Zum Zufallsexperiment „Tischtennismatch zwischen Axel und Bernd“ gehört die folgende Ergebnismenge:
$\Omega =\left\{\left(A;A\right),\left(A;B;A\right),\left(A;B;B\right),\left(B;A;A\right),\left(B;A;B\right),\left(B;B\right)\right\}$

Mit einem Baumdiagramm ist es auch möglich, auf relativ einfache Weise die Wahrscheinlichkeiten für atomare und zusammengesetzte Ereignisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments zu berechnen. Hierzu beschriftet man die einzelnen Äste des Baumdiagramms mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Dabei ist zu beachten, dass die sogenannte Verzweigungsregel eingehalten wird. Nach dieser Regel muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von ein und demselben Verzweigungspunkt ausgehen, stets 1 betragen.

Nimmt man für das Beispiel „Tischtennismatch zwischen Axel und Bernd“ an, dass die Satzgewinnwahrscheinlichkeit bei Axel 0,40 und bei Bernd 0,60 beträgt und dass sich bei Axel diese Satzgewinnwahrscheinlichkeit, nachdem er einen Satz gewonnen hat, um $10\text{\%}$ erhöht, während sie sich bei Bernd, nachdem er einen Satz gewonnen hat, um $10\text{\%}$ verringert (jeweils bezogen auf die Ausgangswerte 0,40 bzw. 0,60), so erhält man die folgende Darstellung:

Für die Berechnung der oben genannten Wahrscheinlichkeiten gelten zwei Pfadregeln.

• Erste Pfadregel (Produktregel):
  Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines atomaren Ereignisses gleich seiner Pfadwahrscheinlichkeit, d.h. gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der dem zugehörigen Ergebnis im Baumdiagramm entspricht.

Für die atomaren Ereignisse des Beispiels „Tischtennismatch zwischen Axel und Bernd“ erhält man somit folgende Wahrscheinlichkeiten:
$\begin{array}{l}P\left(\left\{\left(A;A\right)\right\}\right)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,44}\approx \mathrm{0,18}\\ P\left(\left\{\left(A;B;A\right)\right\}\right)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,56}\cdot \mathrm{0,46}\approx \mathrm{0,10}\\ P\left(\left\{\left(A;B;B\right)\right\}\right)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,56}\cdot \mathrm{0,54}\approx \mathrm{0,12}\\ P\left(\left\{\left(B;A;A\right)\right\}\right)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,46}\cdot \mathrm{0,44}\approx \mathrm{0,12}\\ P\left(\left\{\left(B;A;B\right)\right\}\right)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,46}\cdot \mathrm{0,56}\approx \mathrm{0,15}\\ P\left(\left\{\left(B;B\right)\right\}\right)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,54}\approx \mathrm{0,32}\end{array}$

• Zweite Pfadregel(Summenregel):
  Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines (zusammengesetzten) Ereignisses gleich der Summen der Wahrscheinlichkeiten aller der Pfade, die zu seinen zugehörigen Ergebnissen führen.

Betrachtet man für das Beispiel „Tischtennismatch zwischen Axel und Bernd“ das zusammengesetzte Ereignis $C=\left\{AxelwirdSieger\right\},$ so ergibt sich (siehe linkes Baumdiagramm in der folgenden Abbildung):
$\begin{array}{l}P\left(C\right)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,44}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,56}\cdot \mathrm{0,46}+\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,46}\cdot \mathrm{0,44}\\ \approx \mathrm{0,40}\end{array}$

Für das Ereignis $D=\left\{Axelgewinnt,wennesfürihnbereits1:0nachSätzensteht\right\}$ erhält man (siehe rechtes Baumdiagramm in der folgenden Abbildung):
$P\left(D\right)=\mathrm{0,44}+\mathrm{0,56}\cdot \mathrm{0,46}\approx \mathrm{0,70}$