Der Fundamentalsatz der Algebra

In der Menge der reellen Zahlen besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
${\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n=0;(n\in \mathbb{N}und{a}_n\ne 0)$
höchstens n Lösungen.

Dabei können zwei Fälle unterschieden werden:

• Fall 1: n geradzahlig
  Die Gleichung kann in der Menge der reellen Zahlen unlösbar sein.
  Beispiel: Die Gleichung $x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1$ besitzt keine reelle Lösung.
• Fall 2: n ungeradzahlig
  Die Gleichung besitzt in der Menge der reellen Zahlen mindestens eine Lösung.
  Beispiel: $x^3+1=0$
  Aus der Faktorschreibweise $\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0$ ergibt sich die reelle Lösung $x=-1.$

Besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades eine ganzzahlige Lösung $x_g,$ so ist diese Teiler des Absolutgliedes $a_0.$
Für den Sonderfall, dass eine ganzrationale Funktion n-ten Grades n (reelle) Lösungen besitzt, kann eine vollständige Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren vorgenommen werden.
Sei $L=\left\{x_1,x_2,\mathrm{...,}{x}_n\right\}$ Lösungsmenge der Gleichung
${\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n=0.$
Dann lautet die Darstellung in Linearfaktoren folgendermaßen:
${\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i}=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\mathrm{...}\left(x-x_n\right)=0$

Für den Bereich der komplexen Zahlen formulierte CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) im Jahre 1799 in seiner Dissertation:

• Jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
  ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n=0;(n\in \mathbb{N}und{a}_n\ne 0)$
  besitzt mindestens eine Lösung.

Daraus entstand der Fundamentalsatz der Algebra:

• Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen.

Anmerkung: Diese n Lösungen müssen nicht notwendigerweise verschieden voneinander sein. Es können Lösungen mehrfach auftreten. Zählt man aber jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit, so muss sich insgesamt die natürliche Zahl n ergeben (interaktives Rechenbeispiel).

• Beispiel 1: $x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1$

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form $x=r\left(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi \right)$ geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
$x^2=r^2\left(\cos 2\varphi +i\cdot \sin 2\varphi \right)=-1$

Diese Gleichung ist erfüllt für $r=\mathrm{1,}{\varphi }_1=\frac{\pi }{2}und{\varphi }_2=\frac{3\pi }{2}.$ Damit gilt $x_1=i,x_2=-i.$
Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man $x_{1;2}=0\pm \sqrt{-1}$ und damit nach Definition $i^2=-1$ bzw. $x_1=i,x_2=-i.$

• Beispiel 2: $x^3+1=0$

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form $x=r\left(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi \right)$ geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
$x^3=r^3\left(\cos 3\varphi +i\cdot \sin 3\varphi \right)=-1$

Daraus folgt $r=1$, $\cos 3\varphi =-1$ und $\sin 3\varphi =0.$
Damit ergibt sich $3\varphi =\left(2k+1\right)\cdot 180°und3\varphi =k\cdot 180°$ bzw. $\varphi =\left(2k+1\right)\cdot 60°und\varphi =k\cdot 60°.$

So besitzt die Gleichung dritten Grades für ${\varphi }_1=60°$ die Lösung $x_1=\mathrm{0,5}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot i$, für ${\varphi }_2=180°$ die Lösung $x_2=-1$, für ${\varphi }_3=300°$ die Lösung $x_3=\mathrm{0,5}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot i$ und somit eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.

• Beispiel 3: $x^3-2x^2-23x+150=0$

Lösung durch Probieren oder grafisch:
$x_1=-6$

Abtrennen des Linearfaktors:
$\left(x+6\right)\left(x^2-8x+25\right)=0$

Lösen der quadratischen Gleichung:
$x_{2;3}=4\pm \sqrt{16-25}=4\pm \sqrt{-9}$

Komplexe Lösungen:
$x_2=4+3iund{x}_3=4-3i$