Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 4 Gleichungen und Gleichungssysteme
  4. 4.2 Gleichungen höheren Grades
  5. 4.2.0 Überblick
  6. Der Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra

Welche Aussagen kann man über die Lösungen ganzrationaler Gleichung n-ten Grades der Form
  ∑ i   =   0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0 ;   ( n ∈ ℕ       u n d       a n ≠ 0 )
im Bereich der reellen bzw. im Bereich der komplexen Zahlen treffen?

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

In der Menge der reellen Zahlen besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
  ∑ i   =   0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0 ;   ( n ∈ ℕ       u n d       a n ≠ 0 )
höchstens n Lösungen.

Dabei können zwei Fälle unterschieden werden:

  • Fall 1: n geradzahlig
    Die Gleichung kann in der Menge der reellen Zahlen unlösbar sein.
    Beispiel: Die Gleichung x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −   1 besitzt keine reelle Lösung.
  • Fall 2: n ungeradzahlig
    Die Gleichung besitzt in der Menge der reellen Zahlen mindestens eine Lösung.
    Beispiel: x 3 + 1 = 0
    Aus der Faktorschreibweise ( x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) = 0 ergibt sich die reelle Lösung x = −   1.

Besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades eine ganzzahlige Lösung x g , so ist diese Teiler des Absolutgliedes a 0 .
Für den Sonderfall, dass eine ganzrationale Funktion n-ten Grades n (reelle) Lösungen besitzt, kann eine vollständige Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren vorgenommen werden.
Sei L = { x 1 ,     x 2 ,     ...,     x n } Lösungsmenge der Gleichung
∑ i   =   0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0.
Dann lautet die Darstellung in Linearfaktoren folgendermaßen:
  ∑ i   =   0 n a i x i = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ... ( x − x n ) = 0

Für den Bereich der komplexen Zahlen formulierte CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) im Jahre 1799 in seiner Dissertation:

  • Jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
    ∑ i   =   0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0 ;   ( n ∈ ℕ       u n d       a n ≠ 0 )
    besitzt mindestens eine Lösung.

Daraus entstand der Fundamentalsatz der Algebra:

  • Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen.

Anmerkung: Diese n Lösungen müssen nicht notwendigerweise verschieden voneinander sein. Es können Lösungen mehrfach auftreten. Zählt man aber jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit, so muss sich insgesamt die natürliche Zahl n ergeben (interaktives Rechenbeispiel).

  • Beispiel 1: x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −   1

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form x = r ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
  x 2 = r 2 ( cos 2 ϕ + i ⋅ sin 2 ϕ ) = −   1

Diese Gleichung ist erfüllt für r = 1,       ϕ 1 = π 2       u n d       ϕ 2 = 3 π 2 . Damit gilt x 1 = i ,       x 2 = −   i .
Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man x 1 ;   2 = 0 ± − 1 und damit nach Definition i 2 = −   1 bzw. x 1 = i ,       x 2 = −   i .

  • Beispiel 2: x 3 + 1 = 0

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form x = r ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
  x 3 = r 3 ( cos 3 ϕ + i ⋅ sin 3 ϕ ) = −   1

Daraus folgt r = 1 , cos 3 ϕ = −   1 und sin 3 ϕ = 0.
Damit ergibt sich 3 ϕ = ( 2 k + 1 ) ⋅ 180   °       u n d       3 ϕ = k ⋅ 180   ° bzw. ϕ = ( 2 k + 1 ) ⋅ 60   °       u n d       ϕ = k ⋅ 60   ° .

So besitzt die Gleichung dritten Grades für ϕ 1 = 60   ° die Lösung x 1 = 0,5 + 1 2 3 ⋅ i , für ϕ 2 = 180   ° die Lösung x 2 = −   1 , für ϕ 3 = 300   ° die Lösung x 3 = 0,5 − 1 2 3 ⋅ i und somit eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.

  • Beispiel 3: x 3 − 2 x 2 − 23 x + 150 = 0

Lösung durch Probieren oder grafisch:
  x 1 = −   6

Abtrennen des Linearfaktors:
  ( x + 6 ) ( x 2 − 8 x + 25 ) = 0

Lösen der quadratischen Gleichung:
  x 2 ;   3 = 4 ± 16 − 25 = 4 ± −   9

Komplexe Lösungen:
  x 2 = 4 + 3 i       u n d       x 3 = 4 − 3 i

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Der Fundamentalsatz der Algebra." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/der-fundamentalsatz-der-algebra (Abgerufen: 20. May 2025, 13:23 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Berechnung
  • Zerlegung in Linearfaktoren
  • Gleichung
  • Mathcad
  • Polynom
  • interaktives Rechenbeispiel
  • komplexe Zahlen
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Carl Friedrich Gauß

* 30. April 1777 Braunschweig
† 23. Februar 1855 Göttingen

Der oft als „Princeps mathematicorum“ (Fürst der Mathematik) bezeichnete CARL FRIEDRICH GAUSS erzielte bahnbrechende Leistungen in Mathematik, Physik, Astronomie und Geodäsie.
Auf mathematischem Gebiet beschäftigte er sich vor allem mit Probemen der Zahlentheorie und Algebra sowie mit Fragen der numerischen Mathematik. Durch neue Berechnungsmethoden schuf er die Grundlagen für eine exakte Bestimmung der Planetenbahnen.
Gemeinsam mit dem Physiker WILHELM WEBER trug GAUSS wesentlich zur Erforschung des Erdmagnetismus und zur Aufstellung eines absoluten Maßsystems bei. Weitere erwähnenswerte Leistungen sind die Bestimmung der Lage der Magnetpole der Erde sowie die Entwicklung des elektromagnetischen Telegrafen.

Sekantennäherungsverfahren (regula falsi)

Ist das exakte Ermitteln der Nullstellen einer Funktion nicht möglich oder sehr aufwendig, so können diese mithilfe geeigneter Verfahren näherungsweise bestimmt werden. Ein solches Verfahren, das (zudem) ohne die Mittel der Infinitesimalrechnung auskommt, ist das Sekantennäherungsverfahren, die sogenannte regula falsi (Regel des „falschen“ Wertes).

Augustin Louis Cauchy

* 21. August 1789 Paris
† 23. Mai 1857 Sceaux bei Paris

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY war vorrangig auf dem Gebiet der Analysis tätig. Er entwickelte die von LEIBNIZ und NEWTON aufgestellten Grundlagen weiter, indem er sie als zusammenhängende Theorie formulierte und entsprechende Aussagen bewies. Zudem begründete er die Funktionentheorie einer komplexen Variablen.

Geronimo Cardano

* 24. September 1501 Pavia
† 21. September 1576 Rom

GERONIMO CARDANO arbeitete auf dem Gebiet der Algebra und beschäftigte sich insbesondere mit dem Lösen kubischer Gleichungen. Die nach ihm benannte Lösungsformel (die cardanische Formel) stammt allerdings vom venezianischen Rechenmeister NICCOLÒ TARTAGLIA.
CARDANOS Studie „Liber de ludo aleae“ gilt als erste systematische Untersuchung auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Auf CARDANO gehen physikalische Erfindungen wie das Kardangelenk, die Kardanwelle bzw. die kardanische Aufhängung zurück. Zudem beschreib er als Erster den Verlauf der Typhuskrankheit.

Evariste Galois

* 18. Oktober 1811 Bourg-la-Reine bei Paris
† 31. Mai 1832 Paris

EVARISTE GALOIS gelang eine Klärung der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Wurzelgrößen (Radikale). Er benutzte dazu die Gruppentheorie.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025