Der Fundamentalsatz der Algebra

Welche Aussagen kann man über die Lösungen ganzrationaler Gleichung n-ten Grades der Form
$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n} = 0; (n \in ℕ u n d a_{n} \neq 0)$
im Bereich der reellen bzw. im Bereich der komplexen Zahlen treffen?

In der Menge der reellen Zahlen besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n} = 0; (n \in ℕ u n d a_{n} \neq 0)$
höchstens n Lösungen.

Dabei können zwei Fälle unterschieden werden:

Fall 1: n geradzahlig
Die Gleichung kann in der Menge der reellen Zahlen unlösbar sein.
Beispiel: Die Gleichung $x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1$ besitzt keine reelle Lösung.
Fall 2: n ungeradzahlig
Die Gleichung besitzt in der Menge der reellen Zahlen mindestens eine Lösung.
Beispiel: $x^{3} + 1 = 0$
Aus der Faktorschreibweise $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ ergibt sich die reelle Lösung $x = - 1.$

Besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades eine ganzzahlige Lösung $x_{g},$ so ist diese Teiler des Absolutgliedes $a_{0} .$
Für den Sonderfall, dass eine ganzrationale Funktion n-ten Grades n (reelle) Lösungen besitzt, kann eine vollständige Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren vorgenommen werden.
Sei $L = {x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}$ Lösungsmenge der Gleichung
$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n} = 0.$
Dann lautet die Darstellung in Linearfaktoren folgendermaßen:
$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = (x - x_{1}) (x - x_{2}) ... (x - x_{n}) = 0$

Für den Bereich der komplexen Zahlen formulierte CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) im Jahre 1799 in seiner Dissertation:

Jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n} = 0; (n \in ℕ u n d a_{n} \neq 0)$
besitzt mindestens eine Lösung.

Daraus entstand der Fundamentalsatz der Algebra:

Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen.

Anmerkung: Diese n Lösungen müssen nicht notwendigerweise verschieden voneinander sein. Es können Lösungen mehrfach auftreten. Zählt man aber jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit, so muss sich insgesamt die natürliche Zahl n ergeben (interaktives Rechenbeispiel).

Beispiel 1: $x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1$

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form $x = r (\cos ϕ + i \cdot \sin ϕ)$ geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
$x^{2} = r^{2} (\cos 2 ϕ + i \cdot \sin 2 ϕ) = - 1$

Diese Gleichung ist erfüllt für $r = 1, ϕ_{1} = \frac{π}{2} u n d ϕ_{2} = \frac{3 π}{2} .$ Damit gilt $x_{1} = i, x_{2} = - i .$
Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man $x_{1; 2} = 0 \pm \sqrt{- 1}$ und damit nach Definition $i^{2} = - 1$ bzw. $x_{1} = i, x_{2} = - i .$

Beispiel 2: $x^{3} + 1 = 0$

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form $x = r (\cos ϕ + i \cdot \sin ϕ)$ geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
$x^{3} = r^{3} (\cos 3 ϕ + i \cdot \sin 3 ϕ) = - 1$

Daraus folgt $r = 1$ , $\cos 3 ϕ = - 1$ und $\sin 3 ϕ = 0.$
Damit ergibt sich $3 ϕ = (2 k + 1) \cdot 180 ° u n d 3 ϕ = k \cdot 180 °$ bzw. $ϕ = (2 k + 1) \cdot 60 ° u n d ϕ = k \cdot 60 ° .$

So besitzt die Gleichung dritten Grades für $ϕ_{1} = 60 °$ die Lösung $x_{1} = 0,5 + \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot i$ , für $ϕ_{2} = 180 °$ die Lösung $x_{2} = - 1$ , für $ϕ_{3} = 300 °$ die Lösung $x_{3} = 0,5 - \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot i$ und somit eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Beispiel 3: $x^{3} - 2 x^{2} - 23 x + 150 = 0$

Lösung durch Probieren oder grafisch:
$x_{1} = - 6$

Abtrennen des Linearfaktors:
$(x + 6) (x^{2} - 8 x + 25) = 0$

Lösen der quadratischen Gleichung:
$x_{2; 3} = 4 \pm \sqrt{16 - 25} = 4 \pm \sqrt{- 9}$

Komplexe Lösungen:
$x_{2} = 4 + 3 i u n d x_{3} = 4 - 3 i$

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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