Der Fundamentalsatz der Algebra

Welche Aussagen kann man über die Lösungen ganzrationaler Gleichung n-ten Grades der Form
  ∑ i   =   0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0 ;   ( n ∈ ℕ       u n d       a n ≠ 0 )
im Bereich der reellen bzw. im Bereich der komplexen Zahlen treffen?

In der Menge der reellen Zahlen besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
  ∑ i   =   0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0 ;   ( n ∈ ℕ       u n d       a n ≠ 0 )
höchstens n Lösungen.

Dabei können zwei Fälle unterschieden werden:

  • Fall 1: n geradzahlig
    Die Gleichung kann in der Menge der reellen Zahlen unlösbar sein.
    Beispiel: Die Gleichung x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −   1 besitzt keine reelle Lösung.
  • Fall 2: n ungeradzahlig
    Die Gleichung besitzt in der Menge der reellen Zahlen mindestens eine Lösung.
    Beispiel: x 3 + 1 = 0
    Aus der Faktorschreibweise ( x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) = 0 ergibt sich die reelle Lösung x = −   1.

Besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades eine ganzzahlige Lösung x g , so ist diese Teiler des Absolutgliedes a 0 .
Für den Sonderfall, dass eine ganzrationale Funktion n-ten Grades n (reelle) Lösungen besitzt, kann eine vollständige Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren vorgenommen werden.
Sei L = { x 1 ,     x 2 ,     ...,     x n } Lösungsmenge der Gleichung
∑ i   =   0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0.
Dann lautet die Darstellung in Linearfaktoren folgendermaßen:
  ∑ i   =   0 n a i x i = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ... ( x − x n ) = 0

Für den Bereich der komplexen Zahlen formulierte CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) im Jahre 1799 in seiner Dissertation:

  • Jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
    ∑ i   =   0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0 ;   ( n ∈ ℕ       u n d       a n ≠ 0 )
    besitzt mindestens eine Lösung.

Daraus entstand der Fundamentalsatz der Algebra:

  • Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen.

Anmerkung: Diese n Lösungen müssen nicht notwendigerweise verschieden voneinander sein. Es können Lösungen mehrfach auftreten. Zählt man aber jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit, so muss sich insgesamt die natürliche Zahl n ergeben (interaktives Rechenbeispiel).

  • Beispiel 1: x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −   1

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form x = r ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
  x 2 = r 2 ( cos 2 ϕ + i ⋅ sin 2 ϕ ) = −   1

Diese Gleichung ist erfüllt für r = 1,       ϕ 1 = π 2       u n d       ϕ 2 = 3 π 2 . Damit gilt x 1 = i ,       x 2 = −   i .
Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man x 1 ;   2 = 0 ± − 1 und damit nach Definition i 2 = −   1 bzw. x 1 = i ,       x 2 = −   i .

  • Beispiel 2: x 3 + 1 = 0

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form x = r ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
  x 3 = r 3 ( cos 3 ϕ + i ⋅ sin 3 ϕ ) = −   1

Daraus folgt r = 1 , cos 3 ϕ = −   1 und sin 3 ϕ = 0.
Damit ergibt sich 3 ϕ = ( 2 k + 1 ) ⋅ 180   °       u n d       3 ϕ = k ⋅ 180   ° bzw. ϕ = ( 2 k + 1 ) ⋅ 60   °       u n d       ϕ = k ⋅ 60   ° .

So besitzt die Gleichung dritten Grades für ϕ 1 = 60   ° die Lösung x 1 = 0,5 + 1 2 3 ⋅ i , für ϕ 2 = 180   ° die Lösung x 2 = −   1 , für ϕ 3 = 300   ° die Lösung x 3 = 0,5 − 1 2 3 ⋅ i und somit eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.

  • Beispiel 3: x 3 − 2 x 2 − 23 x + 150 = 0

Lösung durch Probieren oder grafisch:
  x 1 = −   6

Abtrennen des Linearfaktors:
  ( x + 6 ) ( x 2 − 8 x + 25 ) = 0

Lösen der quadratischen Gleichung:
  x 2 ;   3 = 4 ± 16 − 25 = 4 ± −   9

Komplexe Lösungen:
  x 2 = 4 + 3 i       u n d       x 3 = 4 − 3 i

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Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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