- Lexikon
- Mathematik Abitur
- 4 Gleichungen und Gleichungssysteme
- 4.2 Gleichungen höheren Grades
- 4.2.0 Überblick
- Der Fundamentalsatz der Algebra
In der Menge der reellen Zahlen besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form
höchstens n Lösungen.
Dabei können zwei Fälle unterschieden werden:
Besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades eine ganzzahlige Lösung so ist diese Teiler des Absolutgliedes
Für den Sonderfall, dass eine ganzrationale Funktion n-ten Grades n (reelle) Lösungen besitzt, kann eine vollständige Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren vorgenommen werden.
Sei Lösungsmenge der Gleichung
Dann lautet die Darstellung in Linearfaktoren folgendermaßen:
Für den Bereich der komplexen Zahlen formulierte CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) im Jahre 1799 in seiner Dissertation:
Daraus entstand der Fundamentalsatz der Algebra:
Anmerkung: Diese n Lösungen müssen nicht notwendigerweise verschieden voneinander sein. Es können Lösungen mehrfach auftreten. Zählt man aber jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit, so muss sich insgesamt die natürliche Zahl n ergeben (interaktives Rechenbeispiel).
Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
Diese Gleichung ist erfüllt für Damit gilt
Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man und damit nach Definition bzw.
Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:
Daraus folgt , und
Damit ergibt sich bzw.
So besitzt die Gleichung dritten Grades für die Lösung , für die Lösung , für die Lösung und somit eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Lösung durch Probieren oder grafisch:
Abtrennen des Linearfaktors:
Lösen der quadratischen Gleichung:
Komplexe Lösungen:
Stand: 2010
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