Differenzialrechnung, Grundlagen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenzialrechnung, Grundlagen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzialrechnung-grundlagen (Abgerufen: 20. May 2025, 00:30 UTC)

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Ableitung einer Funktion

Existiert an der Stelle $x_{0}$ des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert
$\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ ,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle $x_{0}$ bezeichnet.
Die Ableitung gibt den Anstieg des Funktionsgraphen an der Stelle $x_{0}$ an.

Ableitungen höherer Ordnung

Höhere Ableitungen einer Funktion f gestatten Rückschlüsse auf den Verlauf des Funktionsgraphen.
Ein Beispiel praktischer Anwendung höherer Ableitungen stellt die Untersuchung von Bewegungsabläufen in der Physik (etwa der Anfahrfunktion eines Kraftfahrzeuges) dar. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind hier als erste bzw. zweite Ableitung des Weges nach der Zeit definiert.

Partielle Ableitungen

Für eine Funktion mit einer Gleichung $y = f (x)$ , also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung $y' = f' (x_{0})$ an einer Stelle $x_{0}$ erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle:
$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte $P_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ an.

Es sei nun $z = f (x, y)$ die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes $y = y_{0}$ , so erhält man eine Funktion $z = f (x, y_{0})$ mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle $x_{0}$ aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion $z = f (x, y)$ nach x an der Stelle $(x_{0}; y_{0})$ und schreibt:
$f_{x} (x_{0}; y_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}$

Differenzierbarkeit von Funktionen

Die Definitionen von Differenzierbarkeit und Stetigkeit führen zu der Folgerung, eine Funktion f kann an einer Stelle $x_{0}$ stetig, aber nicht differenzierbar sein.
Ist f in $x_{0}$ allerdings differenzierbar, dann ist sie in $x_{0}$ auch stetig.

Grafisches Differenzieren

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle $x_{0}$ gibt bekanntermaßen den Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt $P_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ an.
Ebenso spricht man vom Anstieg des Graphen im Punkt $P_{0}$ .
Im Folgenden wird ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle $x_{0}$ mittels zeichnerischen oder grafischen Differenzierens vorgestellt.

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