Differenzialrechnung, Grundlagen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenzialrechnung, Grundlagen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzialrechnung-grundlagen (Abgerufen: 31. July 2025, 10:47 UTC)

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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

In den Natur- bzw. Technikwissenschaften versucht man, bestehende Sachverhalte mithilfe von Funktionen zu modellieren und zu beschreiben. Um die vorliegenden Zusammenhänge besser zu verstehen, ist es oft hilfreich, den Verlauf der entsprechenden Funktionsgraphen genauer zu untersuchen. Sofern keine Funktionsplotter zur Verfügung stehen, ist es notwendig, typische Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion mithilfe geeigneter Methoden der Analysis zu bestimmen und den Funktionsgraphen danach zu zeichnen.

Extremwertprobleme beim senkrechten Wurf

In der Mechanik werden u.a. Bewegungsvorgänge von Körpern untersucht. Dabei wird in der Regel nach dem zurückgelegten Weg, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung gefragt. Insbesondere bei den Wurfbewegungen lassen sich viele Fragestellungen mithilfe der Methoden der Differenzialrechnung bearbeiten.

Beim senkrechten Wurf nach oben geht man davon aus, dass ein Körper mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit senkrecht nach oben „geschossen“ wird. Anschließend wird untersucht, wie er sich im Schwerefeld der Erde bewegt.

Mithilfe der 1. Ableitung lassen sich Aussagen über die Momentangeschwindigkeit oder die maximale Steighöhe gewinnen.

Tangentenproblem

In der historischen Entwicklung der Differenzialrechnung spielte das sogenannte Tangentenproblem eine große Rolle.

Ableitungsfunktion

Existiert der Differenzialquotient einer Funktion $y = f (x)$ für alle Punkte eines Intervalls, so ist die Funktion im ganzen Intervall differenzierbar. Jedem x-Wert des Intervalls ist ein Wert des Differenzialquotienten zugeordnet, der also wiederum eine Funktion von x ist. Man nennt diese die abgeleitete Funktion oder Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung):
$f^{'} : x \to f^{'} (x)$
Anmerkung: f heißt Stammfunktion zu $f^{'}$ .

Gottfried Wilhelm Leibniz

* 1. Juli 1646 Leipzig
† 14. November 1716 Hannover

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.

Bezüglich der Mathematik sind vor allem seine Arbeiten zur Infinitesimalrechnung sowie zur Logik (Formalisierung der Mathematik) zu nennen. Sein um 1675 entwickelter (aber erst ab 1682 publizierter) „Calculus“ enthält Differenziationszeichen, Regeln zum Differenzieren sowie Aussagen zu Extremwerten und Wendepunkten. Auf LEIBNIZ zurück gehen auch das Integralzeichen sowie die Begriffe Differenzial- und Integralrechnung, Funktion und Koordinaten. Schon vor 1683 entwickelte er eine mechanische Rechenmaschine. LEIBNIZ war Begründer und zugleich erster Präsident der Berliner Akademie der Wissenschaften.

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