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Funktionenscharen (Verschiebung, Streckung, Stauchung und Spiegelung von Funktionsgraphen)

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung y = f   ( x ) entstehen so z.B. die Gleichungen y = f   ( x ) + c , y = f   ( x + d ) , y = a ⋅ f   ( x ) oder y = f   ( b ⋅ x ) .
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

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Es soll nun untersucht werden, welchen Einfluss – im Vergleich zum Graphen der Ausgangsfunktion y = f   ( x ) – ein derartiger Summand bzw. Faktor auf die Eigenschaften und auf den Verlauf der Graphen der zugehörigen Funktion nimmt.

Fall 1: y = g   ( x ) = f   ( x ) + c
Als Beispiel betrachten wir die Funktion f mit der Gleichung y = f   ( x ) = x 2 und untersuchen die Graphen folgender Funktionen:

  y = g   1 ( x ) = x 2 − 1   y = g   2 ( x ) = x 2 + 2   y = g     3 ( x ) = x 2 − 2

Bild

Verallgemeinernd lässt sich feststellen:

  • Wird zu jedem Funktionswert f   ( x ) einer Funktion f eine Zahl c ( c ∈ ℝ ) addiert, d.h., gehen wir von der Funktion y = f   ( x ) zu den Funktionen y = g   ( x ) = f   ( x ) + c über, so erhalten wir die Graphen dieser Funktionen durch Verschiebung des Graphen der Funktion f in Richtung der y -Achse um |   c   | Einheiten, und zwar für c > 0 in Richtung des positiven Teils, für c < 0 in Richtung des negativen Teils der y -Achse.

Durch Variation von c entsteht eine durch die Gleichung y = f   ( x ) + c beschriebene Funktionenschar f c – die Graphen dieser Funktionen bilden eine Graphenschar. Der Summand c wird Scharparameter genannt.

Fall 2: y = h   ( x ) = f   ( x + d )
Wir betrachten wieder die Funktion f mit der Gleichung y = f   ( x ) = x 2 und untersuchen jetzt die Graphen folgender Funktionen:

  y = h 1 ( x ) = ( x − 1 ) 2   y = h 2 ( x ) = ( x + 2 ) 2   y = h 3 ( x ) = ( x − 4 ) 2

Bild

Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich feststellen:

  • Addiert man zu jedem Argument x einer Funktion f eine Zahl d ( d ∈ ℝ ) , d.h., gehen wir von der Funktion y = f   ( x ) zu den Funktionen y = f   ( x + d ) über, so ergeben sich die Graphen dieser Funktionen aus dem Graphen der ursprünglichen Funktion f durch Verschiebung in Richtung der x -Achse um |   d   | Einheiten, und zwar für d > 0 in Richtung des negativen Teils, für d < 0 in Richtung des positiven Teils der x -Achse.

Auch in diesem Fall entsteht eine Funktionenschar f d , hier mit dem Scharparameter d .

Fall 3: y = u   ( x ) = a ⋅ f   ( x ) ; y = v   ( x ) = f   ( b ⋅ x )
Die Funktion f habe wiederum die Gleichung y = f   ( x ) = x 2 .
Wir untersuchen die Graphen folgender Funktionen:

  y = u 1 ( x ) = 2 ⋅ f   ( x ) = 2 x 2                                 y = v 1 ( x ) = f   ( 2 ⋅ x ) = ( 2 x ) 2 = 4 x 2   y = u 2 ( x ) = 1 2 ⋅ f   ( x ) = 1 2 x 2                           y = v 2 ( x ) = f   ( 1 2 ⋅ x ) = ( 1 2 x ) 2 = 1 4 x 2

Bild

Hier lässt sich erkennen:

  • Die Graphenscharen der jeweiligen Funktionenscharen entstehen in diesem Fall aus dem Graphen der Ausgangsfunktion durch Geradenstreckung.
    Bei y = a ⋅ f   ( x ) erfolgt diese Streckung senkrecht zur x -Achse mit dem Faktor |   a   | ; bei y = f   ( b ⋅ x ) ergibt sich eine Streckung senkrecht zur y -Achse mit dem Faktor 1 |   b   | .

Wählt man in y = a ⋅ f   ( x ) den Parameter a = −   1 , so geht der Graph aus dem von f durch Spiegelung an der x -Achse hervor. Die Wahl von b = − 1 in y = f   ( b ⋅ x ) bewirkt eine Spiegelung des Graphen von f an der y -Achse.

Durch unterschiedliches Einfügen der Parameter in die Ausgangsgleichung, durch Kombination der einzelnen Möglichkeiten und natürlich durch die Parameterwahl lassen sich aus einer Ausgangsfunktion unendlich viele „neue“ Funktionen erzeugen (interaktives Rechenbeispiel). Sind dabei die oben erläuterten geometrischen Zusammenhänge bekannt, so kann man die Graphen von Funktionen einer Funktionenschar ausgehend von einem Scharelement häufig relativ leicht zeichnen. Auch ist es möglich, bestimmte Eigenschaften der Funktionenschar mithilfe des Scharparameters auszudrücken.

Beispielsweise kann man für die Funktionenschar   y = f   c ( x ) = x 2 + c   ( mit  c ≤ 0 )
die Nullstellen in der Form x 1 = − c  und  x 2 = −   −   c angeben.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Funktionenscharen (Verschiebung, Streckung, Stauchung und Spiegelung von Funktionsgraphen)." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/funktionenscharen-verschiebung-streckung-stauchung-und (Abgerufen: 20. May 2025, 18:09 UTC)

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  y = f ( x ) = a x 2 + b x + c   ( mit  a ≠ 0,       x ∈ ℝ )

oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man a x 2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Funktionenscharen

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung y = f   ( x ) entstehen so z. B. die Gleichungen y = f   ( x ) + c , y = f   ( x + d ) , y = a ⋅ f   ( x ) oder y = f   ( b ⋅ x ) .
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