Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik
  3. 6 Funktionen
  4. 6.4 Quadratische Funktionen
  5. 6.4.1 Graphen quadratischer Funktionen
  6. Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form

  y = f ( x ) = a x 2 + b x + c   ( mit  a ≠ 0,       x ∈ ℝ )

oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man a x 2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Nimmt man vereinfachend an, dass ein Bungee-Springer in der ersten Phase nach seinem Absprung aus h 0 Meter Höhe frei fällt, so würde er sich entsprechend den Gesetzen der Physik nach t Sekunden in einer Höhe
  h = h 0 − g 2 ⋅ t 2   ( g = 9,81     m s 2 )
über der Erdoberfläche befinden.
Die Gleichung
  h ( t ) = h 0 − g 2 ⋅ t 2
beschreibt eine spezielle quadratische Funktion.

Definition: 
Eine Funktion mit einer Gleichung der Form

  y = f ( x ) = a x 2 + b x + c   ( mit  a ≠ 0,       x ∈ ℝ )

oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion
( a x 2 nennt man das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung).

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel (quadratische Parabel). Die Symmetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y-Achse und schneidet den Graphen der Funktion im Scheitelpunkt (Scheitel) der Parabel.
Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet (Bild 1).

Für a > 0 besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt (einen Minimumpunkt) und für a < 0 einen höchsten Punkt (einen Maximumpunkt). Diese Punkte sind jeweils Scheitelpunkt der Parabel.

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen mit a = 1. Man erhält
  y = f ( x ) = x 2 + b x + c
bzw. durch Umbenennung
  y = f ( x ) = x 2 + p x + q   ( m i t       p ,     q ∈ ℝ )
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Graphen der entsprechenden quadratischen Funktionen zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

  • Parabel nach oben bzw. nach unten geöffnet

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion f ( x ) = x 2 . Ihr Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, ihr Wertebereich die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen. Der Graph dieser Funktion wird Normalparabel genannt (Bild 2). Ihre Symmetrieachse ist die y-Achse; der Scheitel hat die Koordinaten (0; 0). Aufgrund der im Funktionsterm auszuführenden Operation (Quadrieren) ist die Funktion f ( x ) = x 2 für alle x ≤ 0 streng monoton fallend und für alle x ≥ 0 streng monoton wachsend sowie nach unten beschränkt.

  • Normalparabel

Fall 2: p = 0; q ≠ 0
Es ergibt sich die Gleichung f ( x ) = x 2 + q mit q ∈ ℝ , z. B. also
y = f 1 ( x ) = x 2 + 1 oder y = f 2 ( x ) = x 2 − 4 .
Im Vergleich zum zuvor betrachteten Fall erhält man die Funktionswerte der jeweiligen Funktion, indem man zum entsprechenden Funktionswert von f ( x ) = x 2 die Zahl 1 addiert bzw. von diesem 4 subtrahiert (allgemein: q addiert).
Das heißt geometrisch: Der Graph der Funktionen f ( x ) = x 2 + q ist eine um | q | Einheiten in Richtung der positiven (für q > 0) bzw. negativen y-Achse (für q < 0) verschobene Normalparabel mit der y-Achse als Symmetrieachse (Bild 3) und dem Scheitel (0; q).

Fall 3: p ≠ 0, q = 0
Man erhält die Gleichung f ( x ) = x 2 + p x mit p ∈ ℝ , zum Beispiel also y = f ( x ) = x 2 + 2 x .

  • Normalparabel mit y-Achse als Symmetrieachse

Um mit den vorangegangenen Fällen vergleichen zu können, liegt es nahe, die Summe im Funktionsterm in ein vollständiges Quadrat umzuwandeln. Das ist mithilfe der quadratischen Ergänzung möglich:
  f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 − 1 = ( x + 1 ) 2 − 1
Die Funktionsgleichung erreicht damit die Gestalt f ( x ) = ( x + d ) 2 + e .
Der Einfluss des Summanden e auf den Graphen der Funktion ist bekannt (siehe Fall 2).
Anhand der Funktionsgleichungen h ( x ) = x 2 und f ( x ) = ( x + d ) 2 erkennt man:
Der Funktionswert, den die Funktion h ( x ) = x 2 an einer beliebigen Stelle x annimmt, ist gleich dem Funktionswert von
f ( x ) = ( x + d ) 2 an der Stelle x – d, denn
f ( x − d ) = [ ( x − d ) + d ] 2 = x 2 = h ( x ) .
Also: Der Graph der Funktion y = f ( x ) = ( x + d ) 2 ist die um | d | Einheiten in Richtung der positiven (falls d < 0) oder der negativen x-Achse (falls d > 0) verschobene Normalparabel.
In Bezug auf das betrachtete Beispiel y = f ( x ) = x 2 + 2 x bzw. y = f ( x ) = ( x + 1 ) 2 – 1 bedeutet das: Der Graph der Funktion ist die um je eine Einheit in Richtung der negativen x- und y-Achse verschobene Normalparabel (Bild 4); der Scheitelpunkt ist
S(–1; –1).


Fall 4: p ≠ 0; q ≠ 0
Man erhält die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + p x + q mit p ,   q     ∈ ℝ . Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann diese wieder in die Struktur y = f ( x ) = ( x + d ) 2 + e überführt werden, aus der sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S(–d; e) unmittelbar ablesen lassen (siehe Fall 3).

  • Normalparabel mit S (–1; –1)

Man spricht deshalb auch von der Scheitelpunktsform der Gleichung einer quadratischen Funktion. Bei der Umformung geht man in folgenden Schritten vor (Bild 5):

Beispiel:    Allgemeiner Fall:
g ( x ) = x 2 + 5 x + 7 = x 2 + 5 x + ( 5 2 ) 2 − ( 5 2 ) 2 + 7 = ( x + 5 2 ) 2 + 3 4   , f ( x ) = x 2 + p x + q = x 2 + p x + ( p 2 ) 2 − ( p 2 ) 2 + q = ( x + p 2 ) 2 + [ − ( p 2 ) 2 + q ]   ,
also d = 5 2   ;     e = 3 4 und damit S ( − 5 2   ;     3 4 ) . also d = p 2   ;     e = − ( p 2 ) 2 + q und
damit S ( − p 2   ;     − ( p 2 ) 2 + q ) .

Das heißt: Die Koordinaten des Scheitelpunktes kann man unmittelbar aus p und q erhalten, ohne die Scheitelpunktsform zu erzeugen.
Führt man für ( p 2 ) 2 − q = p 2 4 − q die Abkürzung D ein, so erhält man für die Koordinaten des Scheitelpunktes S ( − p 2   ;     − D ) bzw. S ( − p 2   ;   − ( p 2 4 − q ) ) . D nennt man Diskriminante der quadratischen Funktion.

  • Normalparabel mit S (–2,5; 0,75)
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Quadratische Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/quadratische-funktionen (Abgerufen: 20. May 2025, 08:50 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Scheitelpunkte
  • interaktiv
  • Minimumpunkt
  • Mathcad
  • quadratische Funktionen
  • Normalparabel
  • Diskriminante
  • Rechenbeispiel
  • Maximumpunkt
  • Berechnungsbeispiel
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung y = f   ( x ) = a x 2 + b x + c ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für a ≠ 1 erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von y = f   ( x ) = x 2 + b x + c eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

Winkelfunktionen y = f(x) = a sin (bx + c)

Besonders bei der mathematischen Beschreibung von Schwingungsvorgängen wird häufig von Winkelfunktionen, speziell der Sinusfunktion mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = a ⋅ sin ( b x + c ) Gebrauch gemacht.
Bezogen auf den Graphen von f nennt man deshalb a auch die Amplitude der Sinuskurve, b deren Frequenz und c ihre Phasenverschiebung.

Funktionenscharen (Verschiebung, Streckung, Stauchung und Spiegelung von Funktionsgraphen)

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung y = f   ( x ) entstehen so z.B. die Gleichungen y = f   ( x ) + c , y = f   ( x + d ) , y = a ⋅ f   ( x ) oder y = f   ( b ⋅ x ) .
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

Nullstellen

Jede Zahl x aus dem Definitionsbereich einer Funktion f, für die
f(x) = 0 gilt, nennt man Nullstelle dieser Funktion.

Quadratische Funktionen, Graphen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung y = f   ( x ) = a x 2 + b x + c ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für a ≠ 1 erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von y = f   ( x ) = x 2 + b x + c eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025