Funktionenscharen

Durch Variation von c entsteht eine durch die Gleichung $y=f\left(x\right)+c$ beschriebene Funktionenschar $f_c$ – die Graphen dieser Funktionen bilden eine Graphenschar. Der Summand c wird Scharparameter genannt (interaktives Rechenbeispiel).

Fall 2: $y=h\left(x\right)=f\left(x+d\right)$
Wir betrachten wieder die Funktion f mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=x^2$ und untersuchen jetzt die Graphen folgender Funktionen:
$\begin{array}{l}y=h_1\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\\ y=h_2\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2\\ y=h_3\left(x\right)={\left(x-4\right)}^2\end{array}$

Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich feststellen:

Addiert man zu jedem Argument x einer Funktion f eine Zahl d $\left(d\in ℝ\right)$, d. h., gehen wir von der Funktion $y=f\left(x\right)$ zu den Funktionen $y=f\left(x+d\right)$ über, so ergeben sich die Graphen dieser Funktionen aus dem Graphen der ursprünglichen Funktion f durch Verschiebung in Richtung der x-Achse um $\left|d\right|$ Einheiten, und zwar für $d>0$ in Richtung des negativen Teils, für $d<0$ in Richtung des positiven Teils der x-Achse.

Auch in diesem Fall entsteht eine Funktionenschar $f_d$, hier mit dem Scharparameter d (interaktives Rechenbeispiel).

Fall 3: $y=u\left(x\right)=a\cdot f\left(x\right)$; $y=v\left(x\right)=f\left(b\cdot x\right)$
Die Funktion f habe wiederum die Gleichung $y=f\left(x\right)=x^2$. Wir untersuchen die Graphen folgender Funktionen:
$\begin{array}{l}y=u_1\left(x\right)=2\cdot f\left(x\right)=2x^{2}y=v_1\left(x\right)=f\left(2\cdot x\right)={\left(2x\right)}^2=4x^2\\ y=u_2\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{2}y=v_2\left(x\right)=f\left(\frac{1}{2}\cdot x\right)={\left(\frac{1}{2}x\right)}^2=\frac{1}{4}{x}^2\end{array}$

Hier lässt sich erkennen:

Die Graphenscharen der jeweiligen Funktionenscharen entstehen in diesem Fall aus dem Graphen der Ausgangsfunktion durch Geradenstreckung.
Bei $y=a\cdot f\left(x\right)$ erfolgt diese Streckung senkrecht zur x-Achse mit dem Faktor $\left|a\right|$; bei $y=f\left(b\cdot x\right)$ ergibt sich eine Streckung senkrecht zur y-Achse mit dem Faktor $\frac{1}{\left|b\right|}$.

Wählt man in $y=a\cdot f\left(x\right)$ den Parameter $a=-1$, so geht der Graph aus dem von f durch Spiegelung an der x-Achse hervor. Die Wahl von $b=-1$ in $y=f\left(b\cdot x\right)$ bewirkt eine Spiegelung des Graphen von f an der y-Achse.

Durch unterschiedliches Einfügen der Parameter in die Ausgangsgleichung, durch Kombination der einzelnen Möglichkeiten und natürlich durch die Parameterwahl lassen sich aus einer Ausgangsfunktion unendlich viele „neue“ Funktionen erzeugen. Sind dabei die oben erläuterten geometrischen Zusammenhänge bekannt, so kann man die Graphen von Funktionen einer Funktionenschar ausgehend von einem Scharelement häufig relativ leicht zeichnen. Auch ist es möglich, bestimmte Eigenschaften der Funktionenschar mithilfe des Scharparameters auszudrücken.
Beispielsweise kann man für die Funktionenschar $y=f_c\left(x\right)=x^2+c(mitc\le 0)$
die Nullstellen in der Form $x_1=\sqrt{-c}und{x}_2=-\sqrt{-c}$ angeben.