Geometrische Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge, für die $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ gilt, heißt geometrische Folge.
Eine geometrische Folge ist dadurch charakterisiert, dass die Folgeglieder jeweils durch Multiplikation mit dem konstanten Faktor q aus dem vorhergehenden Glied entstehen.
Jedes Folgenglied (außer dem ersten) ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder.

Zum Schach, das bekanntlich auf einem Brett von $8 \cdot 8 = 64$ Feldern gespielt wird, gibt es die folgende Anekdote:

ZETA, der Erfinder des Schachspieles, soll sich vom Kaiser SHERAM als Belohnung Weizen ausgebeten haben – und zwar ein Korn auf das erste Feld des Schachspiels, zwei Körner auf das zweite Feld und auf jedes weitere Feld immer die doppelte Anzahl von Körnern des vorherigen. Insgesamt ergibt sich so eine Menge von $2^{64} - 1$ Körnern (das sind etwa $1,84 \cdot 10^{19}$ Körner). Rechnet man nun 10 Körner zu einem Gramm, so ergibt das rund $9,2 \cdot 10^{12} t$ Weizen. (Die Welternte 1994 betrug etwa $5,3 \cdot 10^{8} t$ , man benötigte also mehr als das Zehntausendfache des 1994 geernteten Weizens, so viel ist auf der Welt insgesamt noch nicht geerntet worden.)

Das Beispiel zeigt eindrucksvoll, dass die Folge der Zahlen 1, 2, 4, 8, 16, ... sehr rasch wächst.

Eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied (außer dem ersten) aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit dem gleichen Faktor q hervorgeht, nennt man geometrische Zahlenfolge. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass der Quotient q zwischen zwei benachbarten Gliedern stets gleich ist, d.h., für alle Glieder der Folge gilt:
$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q (n = 1; 2; 3; ...)$

Durch Angabe des Quotienten q und des Anfangsgliedes $a_{1}$ ist die gesamte Folge bestimmt, es gilt:
$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} (n = 1; 2; 3; ...)$

Beispiel 1:
Gegeben: $a_{1} = 3; q = 4$
Gesucht: $a_{7}$
Lösung: $a_{7} = a_{1} \cdot q^{6} = 3 \cdot 4^{6} = 12 288$
Beispiel 2:
Gegeben: $a_{1}; q = \frac{1}{2}$
Gesucht: $a_{5}$
Lösung: $a_{5} = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{2^{2}}{2^{4}} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Auch durch Angabe eines beliebigen Gliedes und des Quotienten q ist eine geometrische Folge eindeutig bestimmt.

Beispiel 3:
Gegeben: $a_{8} = 0,000 000 3; q = 0,1$
Gesucht: $a_{1}$
Lösung: $a_{1} = \frac{a^{8}}{q^{7}} = \frac{3 \cdot 10^{- 7}}{{0,1}^{7}} = 3$

Kennt man das Anfangsglied $a_{1}$ und ein beliebiges anderes Glied einer geometrischen Folge, so kann man den Quotienten q berechnen. Es gilt:
$q^{n - 1} = \frac{a_{n}}{a_{1}} \Rightarrow q = \sqrt[n - 1]{\frac{a_{n}}{a_{1}}}$

Beispiel 4:
Gegeben: $a_{1} = 1; a_{4} = 3,375$
Gesucht: q
Lösung: $q = \sqrt[3]{\frac{a_{4}}{a_{1}}} = \sqrt[3]{3,375} = 1,5$

Eine geometrische Folge mit $a_{1} > 0$ ist genau dann monoton wachsend, wenn $q > 1$ ; sie ist genau dann monoton fallend, wenn $0 < q < 1$ gilt. Ist $q < 0$ , so ist die Folge alternierend.
Für den Fall $q = 1$ entsteht die konstante Folge $(a_{n}) = a_{1}; a_{1}; a_{1}; ...$ .

Bei einer geometrischen Zahlenfolge ist jedes Glied (mit Ausnahme des Anfangsgliedes $a_{1}$ ) das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder (woraus sich auch der Name geometrische Folge erklärt).
Beweis:
$\begin{array}{l} \sqrt{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} = \sqrt{a_{1} \cdot q^{n - 2} \cdot a_{1} \cdot q^{n}} \\ = \sqrt{a_{1}^{2} \cdot q^{2 n - 2}} = a_{1} \cdot q^{n - 1} = a_{n} \end{array}$

Auch für geometrische Folgen lassen sich Partialsummen berechnen. Für die n-te Partialsumme $s_{n}$ einer geometrischer Folgen gilt:
$s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$
Anmerkung: Um ein Rechnen mit negativen Zahlen zu vermeiden, verwendet man für $q > 1$ zweckmäßigerweise den ersten und für $0 < q < 1$ den zweiten Term.)

Beispiel 5:
Gegeben: $a_{1} = 1; q = 1,2$
Gesucht: $s_{10}$
Lösung: $s_{10} = 1 \cdot \frac{{1,2}^{9} - 1}{1,2 - 1} = \frac{{1,2}^{9} - 1}{0,2} \approx 20,8$
Beispiel 6:
Gegeben: $a_{1} = 4; q = \frac{1}{2} = 0,5$
Gesucht: $s_{5}$
Lösung: $s_{5} = 4 \cdot \frac{1 - {0,5}^{5}}{1 - 0,5} = 4 \cdot \frac{1 - {0,5}^{5}}{0,5} = 7,75$

Anmerkung: Betrachtet man in Beispiel 6 die Folge der Partialsummen
$(s_{n}) = 4; 6; 7; 7,5; 7,75; ....$ ,
so lässt sich vermuten, dass diese zwar streng monoton wachsend, aber nach oben beschränkt ist, d.h., dass auch bei Addition unendlich vieler Folgeglieder ein endlicher Wert (hier die Zahl 8) nicht überschritten werden wird.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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