Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

Bei der Untersuchung von Zahlenfolgen auf Konvergenz sind Grenzwertsätze von Nutzen. Mit deren Hilfe lassen sich Folgen komplizierterer Struktur auf einfachere Zahlenfolgen mit bekannten Grenzwerten zurückführen.

Möchte man kompliziertere Zahlenfolgen, etwa die Folge $(a_{n}) = (\frac{2 n^{2} + 4 n - 3}{3 n^{2} - n + 1})$ , auf die Existenz eines Grenzwertes untersuchen (und diesen ggf. berechnen), so sind Sätze über Grenzwerte (Grenzwertsätze), wie sie im Folgenden dargestellt werden, von Nutzen.

Gegeben seien die konvergenten Zahlenfolgen $(a_{n}) u n d (b_{n})$ mit
$\lim_{n \to \infty} a_{n} = g_{1} b z w . \lim_{n \to \infty} b_{n} = g_{2}$

Dann gilt:
$\begin{array}{l} (1) \lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = \lim_{n \to \infty} a_{n} + \lim_{n \to \infty} b_{n} \\ (2) \lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = \lim_{n \to \infty} a_{n} - \lim_{n \to \infty} b_{n} \\ (3) \lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = \lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot \lim_{n \to \infty} b_{n} \\ (4) \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_{n}}{\lim_{n \to \infty} b_{n}} \end{array}$

Diese Grenzwertsätze sind zu beweisen. Exemplarisch soll dies nachfolgend für (1) dargestellt werden.

Beweis von (1):
Nach Definition des Grenzwertes ist zu zeigen, dass für jede beliebige positive reelle Zahl $ε$ und fast alle $n \in ℕ$ die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$| (a_{n} + b_{n}) - (g_{1} + g_{2}) | < ε$

Wegen $\lim_{n \to \infty} a_{n} = g_{1} u n d \lim_{n \to \infty} b_{n} = g_{2}$ gilt nach Definition des Grenzwertes für fast alle n:
$| a_{n} - g_{1} | < \frac{ε}{2} b z w . | b_{n} - g_{2} | < \frac{ε}{2}$

Anmerkung: Da obige Ungleichungen für jede reelle Zahl gelten, so sind sie natürlich auch für das von uns gewählte $\frac{ε}{2}$ erfüllt.

Dann folgt (unter Verwendung der Dreiecksungleichung):
$\begin{array}{l} | (a_{n} + b_{n}) - (g_{1} + g_{2}) | = | (a_{n} - g_{1}) + (b_{n} - g_{2}) | \\ \leq | a_{n} - g_{1} | + | b_{n} - g_{2} | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε \end{array}$

Beispiele für das Berechnen von Grenzwerten:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n} = \lim_{n \to \infty} (2 + \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} 2 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 2 + 0 = 2$
$\lim_{n \to \infty} \frac{3 - 5 n}{2 n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{3}{2 n} - \frac{5}{2}) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2 n} - \lim_{n \to \infty} \frac{5}{2} = 0 - \frac{5}{2} = - \frac{5}{2}$
$\lim_{n \to \infty} \frac{(2 n + 1) (3 - 5 n)}{2 n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 5 n}{2 n} = 2 \cdot (- \frac{5}{2}) = - 5$

Aus der Existenz der Grenzwerte $g_{1} u n d g_{2}$ für die Folgen $(a_{n}) u n d (b_{n})$ resultiert, dass die Folge $(c_{n}) m i t c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ konvergent ist und den Grenzwert $g = g_{1} \cdot g_{2}$ hat. Die Umkehrung dieses Satzes gilt allerdings nicht.

Wir betrachten das folgende Beispiel:
$(c_{n}) = \frac{(a_{n})}{(b_{n})} = \frac{(2 n^{2} + 4 n - 3)}{(3 n^{2} - n + 1)}$

Die Folgen $(a_{n}) u n d (b_{n})$ wachsen mit zunehmendem n über alle Grenzen, sie sind also divergent.

Das Bildungsgesetz des Folge $(c_{n})$ kann man umformen, indem man in Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz von n ausklammert und dann (soweit wie möglich) kürzt:
$(c_{n}) = \frac{(2 + \frac{4}{n} - \frac{3}{n^{2}})}{(3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}$

Dann ist nach obigen Grenzwertsätzen:
$\lim_{n \to \infty} c_{n} = \frac{\lim_{n \to \infty} (2 + \frac{4}{n} - \frac{3}{n^{2}})}{\lim_{n \to \infty} (3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})} = \frac{2}{3}$

Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich verallgemeinernd Folgendes feststellen:
Sind $(a_{n}) u n d (b_{n})$ Zahlenfolgen, deren Bildungsgesetze ganzrationale Funktionen (Polynome) in n sind, so gilt für die Folge $(c_{n}) = \frac{(a_{n})}{(b_{n})}$ :

$\lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$ , wenn die höchste Potenz von n im Nenner größer ist als die höchste Potenz von n im Zähler;
$\lim_{n \to \infty} c_{n} = g$ , falls die höchste Potenz von n im Nenner gleich ist als der höchsten Potenz von n im Zähler ist (der Wert g ist der Quotient aus dem Koeffizienten der höchsten Potenz des Zählers und der höchsten Potenz des Nenners);
$\lim_{n \to \infty} c_{n}$ existiert nicht, wenn die höchste Potenz von n im Nenner kleiner ist als die höchste Potenz von n im Zähler.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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