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Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

Bei der Untersuchung von Zahlenfolgen auf Konvergenz sind Grenzwertsätze von Nutzen. Mit deren Hilfe lassen sich Folgen komplizierterer Struktur auf einfachere Zahlenfolgen mit bekannten Grenzwerten zurückführen.

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Möchte man kompliziertere Zahlenfolgen, etwa die Folge ( a n ) = ( 2 n 2 + 4 n − 3 3 n 2 − n + 1 ) , auf die Existenz eines Grenzwertes untersuchen (und diesen ggf. berechnen), so sind Sätze über Grenzwerte (Grenzwertsätze), wie sie im Folgenden dargestellt werden, von Nutzen.

Gegeben seien die konvergenten Zahlenfolgen ( a n )       u n d       ( b n ) mit
  lim n → ∞ a n = g 1         b z w .         lim n → ∞ b n = g 2

Dann gilt:
  (   1   )       lim n → ∞ ( a n + b n ) = lim n → ∞ a n + lim n → ∞ b n   ( 2 )       lim n → ∞ ( a n − b n ) = lim n → ∞ a n − lim n → ∞ b n   ( 3 )       lim n → ∞ ( a n ⋅ b n ) = lim n → ∞ a n ⋅ lim n → ∞ b n   ( 4 )       lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ a n lim n → ∞ b n

Diese Grenzwertsätze sind zu beweisen. Exemplarisch soll dies nachfolgend für (1) dargestellt werden.

Beweis von (1):
Nach Definition des Grenzwertes ist zu zeigen, dass für jede beliebige positive reelle Zahl ε und fast alle n ∈ ℕ die folgende Ungleichung erfüllt ist:
  |   ( a n + b n ) − ( g 1 + g 2 )   | < ε

Wegen lim n → ∞ a n = g 1       u n d       lim n → ∞ b n = g 2 gilt nach Definition des Grenzwertes für fast alle n:
  |   a n − g 1 | < ε 2         b z w .         |   b n − g 2 | < ε 2

Anmerkung: Da obige Ungleichungen für jede reelle Zahl gelten, so sind sie natürlich auch für das von uns gewählte ε 2 erfüllt.

Dann folgt (unter Verwendung der Dreiecksungleichung):
  |   ( a n + b n ) − ( g 1 + g 2 )   | = |   ( a n − g 1 ) + ( b n − g 2 )   |                             ≤ |   a n − g 1   | + |   b n − g 2   | < ε 2 + ε 2 = ε

Beispiele für das Berechnen von Grenzwerten:

  • lim n → ∞ 2 n + 1 n = lim n → ∞ ( 2 + 1 n ) = lim n → ∞ 2 + lim n → ∞ 1 n = 2 + 0 = 2
     
  • lim n → ∞ 3 − 5 n 2 n = lim n → ∞ ( 3 2 n − 5 2 ) = lim n → ∞ 3 2 n − lim n → ∞ 5 2 = 0 − 5 2 = − 5 2
     
  • lim n → ∞ ( 2 n + 1 ) ( 3 − 5 n ) 2 n 2 = lim n → ∞ 2 n + 1 n ⋅ lim n → ∞ 3 − 5 n 2 n = 2 ⋅ ( − 5 2 ) = − 5

Aus der Existenz der Grenzwerte g 1       u n d       g 2 für die Folgen ( a n )       u n d       ( b n ) resultiert, dass die Folge ( c n )       m i t       c n = a n ⋅ b n konvergent ist und den Grenzwert g = g 1 ⋅ g 2 hat. Die Umkehrung dieses Satzes gilt allerdings nicht.

Wir betrachten das folgende Beispiel:
  ( c n ) = ( a n ) ( b n ) = ( 2 n 2 + 4 n − 3 ) ( 3 n 2 − n + 1 )

Die Folgen ( a n )       u n d       ( b n ) wachsen mit zunehmendem n über alle Grenzen, sie sind also divergent.

Das Bildungsgesetz des Folge ( c n ) kann man umformen, indem man in Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz von n ausklammert und dann (soweit wie möglich) kürzt:
  ( c n ) = ( 2 + 4 n − 3 n 2 ) ( 3 − 1 n + 1 n 2 )

Dann ist nach obigen Grenzwertsätzen:
  lim n → ∞ c n = lim n → ∞ ( 2 + 4 n − 3 n 2 ) lim n → ∞ ( 3 − 1 n + 1 n 2 ) = 2 3

Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich verallgemeinernd Folgendes feststellen:
Sind ( a n )       u n d       ( b n ) Zahlenfolgen, deren Bildungsgesetze ganzrationale Funktionen (Polynome) in n sind, so gilt für die Folge ( c n ) = ( a n ) ( b n ) :

  1. lim n → ∞ c n = 0 , wenn die höchste Potenz von n im Nenner größer ist als die höchste Potenz von n im Zähler;
  2. lim n → ∞ c n = g , falls die höchste Potenz von n im Nenner gleich ist als der höchsten Potenz von n im Zähler ist (der Wert g ist der Quotient aus dem Koeffizienten der höchsten Potenz des Zählers und der höchsten Potenz des Nenners);
  3. lim n → ∞ c n existiert nicht, wenn die höchste Potenz von n im Nenner kleiner ist als die höchste Potenz von n im Zähler.
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Grenzwertsätze für Zahlenfolgen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/grenzwertsaetze-fuer-zahlenfolgen (Abgerufen: 20. May 2025, 19:36 UTC)

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