Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

Möchte man kompliziertere Zahlenfolgen, etwa die Folge ( a n ) = ( 2 n 2 + 4 n 3 3 n 2 n + 1 ) , auf die Existenz eines Grenzwertes untersuchen (und diesen ggf. berechnen), so sind Sätze über Grenzwerte (Grenzwertsätze), wie sie im Folgenden dargestellt werden, von Nutzen.

Gegeben seien die konvergenten Zahlenfolgen ( a n ) u n d ( b n ) mit
lim n a n = g 1 b z w . lim n b n = g 2

Dann gilt:
( 1 ) lim n ( a n + b n ) = lim n a n + lim n b n ( 2 ) lim n ( a n b n ) = lim n a n lim n b n ( 3 ) lim n ( a n b n ) = lim n a n lim n b n ( 4 ) lim n a n b n = lim n a n lim n b n

Diese Grenzwertsätze sind zu beweisen. Exemplarisch soll dies nachfolgend für (1) dargestellt werden.

Beweis von (1):
Nach Definition des Grenzwertes ist zu zeigen, dass für jede beliebige positive reelle Zahl ε und fast alle n die folgende Ungleichung erfüllt ist:
| ( a n + b n ) ( g 1 + g 2 ) | < ε

Wegen lim n a n = g 1 u n d lim n b n = g 2 gilt nach Definition des Grenzwertes für fast alle n:
| a n g 1 | < ε 2 b z w . | b n g 2 | < ε 2

Anmerkung: Da obige Ungleichungen für jede reelle Zahl gelten, so sind sie natürlich auch für das von uns gewählte ε 2 erfüllt.

Dann folgt (unter Verwendung der Dreiecksungleichung):
| ( a n + b n ) ( g 1 + g 2 ) | = | ( a n g 1 ) + ( b n g 2 ) | | a n g 1 | + | b n g 2 | < ε 2 + ε 2 = ε

Beispiele für das Berechnen von Grenzwerten:

  • lim n 2 n + 1 n = lim n ( 2 + 1 n ) = lim n 2 + lim n 1 n = 2 + 0 = 2
     
  • lim n 3 5 n 2 n = lim n ( 3 2 n 5 2 ) = lim n 3 2 n lim n 5 2 = 0 5 2 = 5 2
     
  • lim n ( 2 n + 1 ) ( 3 5 n ) 2 n 2 = lim n 2 n + 1 n lim n 3 5 n 2 n = 2 ( 5 2 ) = 5

Aus der Existenz der Grenzwerte g 1 u n d g 2 für die Folgen ( a n ) u n d ( b n ) resultiert, dass die Folge ( c n ) m i t c n = a n b n konvergent ist und den Grenzwert g = g 1 g 2 hat. Die Umkehrung dieses Satzes gilt allerdings nicht.

Wir betrachten das folgende Beispiel:
( c n ) = ( a n ) ( b n ) = ( 2 n 2 + 4 n 3 ) ( 3 n 2 n + 1 )

Die Folgen ( a n ) u n d ( b n ) wachsen mit zunehmendem n über alle Grenzen, sie sind also divergent.

Das Bildungsgesetz des Folge ( c n ) kann man umformen, indem man in Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz von n ausklammert und dann (soweit wie möglich) kürzt:
( c n ) = ( 2 + 4 n 3 n 2 ) ( 3 1 n + 1 n 2 )

Dann ist nach obigen Grenzwertsätzen:
lim n c n = lim n ( 2 + 4 n 3 n 2 ) lim n ( 3 1 n + 1 n 2 ) = 2 3

Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich verallgemeinernd Folgendes feststellen:
Sind ( a n ) u n d ( b n ) Zahlenfolgen, deren Bildungsgesetze ganzrationale Funktionen (Polynome) in n sind, so gilt für die Folge ( c n ) = ( a n ) ( b n ) :

  1. lim n c n = 0 , wenn die höchste Potenz von n im Nenner größer ist als die höchste Potenz von n im Zähler;
  2. lim n c n = g , falls die höchste Potenz von n im Nenner gleich ist als der höchsten Potenz von n im Zähler ist (der Wert g ist der Quotient aus dem Koeffizienten der höchsten Potenz des Zählers und der höchsten Potenz des Nenners);
  3. lim n c n existiert nicht, wenn die höchste Potenz von n im Nenner kleiner ist als die höchste Potenz von n im Zähler.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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