Nullfolgen

  • Die Folge ( a n ) ist eine Nullfolge genau dann, wenn lim n a n = 0 gilt.

Im Folgenden soll für einige Zahlenfolgen nachgewiesen werden, dass sie den Grenzwert 0 haben.

  • Die Folge ( a n ) = ( 1 n ) ist eine Nullfolge.

    Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss | a n 0 | < ε gelten.
    | 1 n 0 | = | 1 n | = 1 n < ε n > 1 ε
    (Wählt man beispielsweise ε = 0,01 , so muss n > 100 sein, d.h., alle Glieder der Folge ab a 101 haben von 0 einen geringeren Abstand als 0,01, liegen also in der ε -Umgebung von 0.)
     
  • Jede Folge ( a n ) = ( k n ) m i t k (k beliebige reelle Zahl) ist eine Nullfolge.

    Der Beweis lässt sich analog dem obigen Beweis (bzw. mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen) führen.
     
  • Jede Folge ( a n ) = ( k n m ) m i t k u n d m ist eine Nullfolge.

    Beweis (mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen):
    lim n k n m = k lim n 1 n m = k lim n ( 1 n 1 n m 1 ) = k lim n 1 n lim n 1 n m 1 = k 0 lim n 1 n m 1 = 0
     
  • Jede Folge ( a n ) = ( n u n v ) m i t u , v ist eine Nullfolge, wenn u < v gilt.

    Beweis:
    lim n n u n v = lim n 1 n u v = 0 ( w e g e n v u > 0 u n d d a m i t ( v u ) )
     
  • Eine Folge ( a n ) = ( b n ) ( c n ) ist eine Nullfolge, wenn die Bildungsgesetze für ( b n ) u n d ( c n ) ganzrationale Funktionen (Polynome) von n sind und der Grad von ( c n ) größer als der Grad ( b n ) von ist.

    Beweis: Es sei b n = k u n u + k u 1 n u 1 + ... + k 1 n + k 0 und c n = r v n v + r v 1 n v 1 + ... + r 1 n + r 0 mit v > u . Dann gilt:
    lim n c n = lim n k u n u + k u 1 n u 1 + ... + k 1 n + k 0 r v n v + r v 1 n v 1 + ... + r 1 n + r 0
    Alle Glieder werden nun durch n v dividiert, dies ergibt (unter Nutzung der Grenzwertsätze):
    lim n c n = lim n k u n u v + k u 1 n u v 1 + ... + k 1 n 1 v + k 0 n v r v + r v 1 n 1 + ... + r 1 n 1 v + r 0 n v = lim n k u n u v + lim n k u 1 n u v 1 + ... + lim n k 1 n 1 v + lim n k 0 n v lim n r v + lim n r v 1 n 1 + ... + lim n r 1 n 1 v + lim n r 0 n v
    Es ist lim n r v = r v , und alle anderen Grenzwerte haben unter der Voraussetzung v > u den Wert Null. Damit gilt:
    lim n c n = 0 r v = 0
     
  • Jede Folge ( a n ) = ( 1 b n ) ist eine Nullfolge, wenn | b | > 1 gilt.

    Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss gelten | a n 0 | < ε .
    | 1 b n 0 | = | 1 b n | < ε | b n | > 1 ε
    Ist z.B. b = 2 und ε = 0,01 , so gilt:
    | 1 2 n | < 0,01 2 n > 100 n > lg 100 lg 2 2 0,301 > 6
    Alle Glieder der Folge ( a n ) = ( 1 2 n ) ab a 7 = 1 2 7 = 1 128 = 00078125 haben also von 0 einen geringeren Abstand als 0,01.
     
  • Folgerung: Jede geometrische Folge ( a n ) = a 1 q n 1 m i t | q | < 1 ist eine Nullfolge.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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