Nullfolgen

  • Die Folge (an) ist eine Nullfolge genau dann, wenn limnan=0 gilt.

Im Folgenden soll für einige Zahlenfolgen nachgewiesen werden, dass sie den Grenzwert 0 haben.

  • Die Folge (an)=(1n) ist eine Nullfolge.

    Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss |an0|<ε gelten.
    |1n0|=|1n|=1n<εn>1ε
    (Wählt man beispielsweise ε=0,01, so muss n>100 sein, d.h., alle Glieder der Folge ab a101 haben von 0 einen geringeren Abstand als 0,01, liegen also in der ε-Umgebung von 0.)
     
  • Jede Folge (an)=(kn)mitk (k beliebige reelle Zahl) ist eine Nullfolge.

    Der Beweis lässt sich analog dem obigen Beweis (bzw. mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen) führen.
     
  • Jede Folge (an)=(knm)mitkundm ist eine Nullfolge.

    Beweis (mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen):
    limnknm=klimn1nm=klimn(1n1nm1)=klimn1nlimn1nm1=k0limn1nm1=0
     
  • Jede Folge (an)=(nunv)mitu,v ist eine Nullfolge, wenn u<v gilt.

    Beweis:
    limnnunv=limn1nuv=0(wegenvu>0unddamit(vu))
     
  • Eine Folge (an)=(bn)(cn) ist eine Nullfolge, wenn die Bildungsgesetze für (bn)und(cn) ganzrationale Funktionen (Polynome) von n sind und der Grad von (cn) größer als der Grad (bn) von ist.

    Beweis: Es sei bn=kunu+ku1nu1+...+k1n+k0 und cn=rvnv+rv1nv1+...+r1n+r0 mit v>u. Dann gilt:
    limncn=limnkunu+ku1nu1+...+k1n+k0rvnv+rv1nv1+...+r1n+r0
    Alle Glieder werden nun durch nv dividiert, dies ergibt (unter Nutzung der Grenzwertsätze):
    limncn=limnkunuv+ku1nuv1+...+k1n1v+k0nvrv+rv1n1+...+r1n1v+r0nv=limnkunuv+limnku1nuv1+...+limnk1n1v+limnk0nvlimnrv+limnrv1n1+...+limnr1n1v+limnr0nv
    Es ist limnrv=rv, und alle anderen Grenzwerte haben unter der Voraussetzung v>u den Wert Null. Damit gilt:
    limncn=0rv=0
     
  • Jede Folge (an)=(1bn) ist eine Nullfolge, wenn |b|>1 gilt.

    Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss gelten |an0|<ε.
    |1bn0|=|1bn|<ε|bn|>1ε
    Ist z.B. b=2 und ε=0,01, so gilt:
    |12n|<0,012n>100n>lg100lg220,301>6
    Alle Glieder der Folge (an)=(12n) ab a7=127=1128=00078125 haben also von 0 einen geringeren Abstand als 0,01.
     
  • Folgerung: Jede geometrische Folge (an)=a1qn1mit|q|<1 ist eine Nullfolge.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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