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  6. Nullfolgen

Nullfolgen

Unter den konvergenten Zahlenfolgen spielen die mit dem Grenzwert 0 eine besondere Rolle. Sie heißen Nullfolgen und sind u.a. für das Berechnen von Grenzwerten beliebiger Zahlenfolgen von Bedeutung. Die Betrachtung verschiedener Zahlenfolgen führt zu der Folgerung, dass jede geometrische Folge ( a n ) = a 1 ⋅ q n − 1     m i t     |   q   | < 1 eine Nullfolge ist.

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  • Die Folge ( a n ) ist eine Nullfolge genau dann, wenn lim n → ∞ a n = 0 gilt.

Im Folgenden soll für einige Zahlenfolgen nachgewiesen werden, dass sie den Grenzwert 0 haben.

  • Die Folge ( a n ) = ( 1 n ) ist eine Nullfolge.

    Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss |   a n − 0   | < ε gelten.
      |   1 n − 0   | = |   1 n   | = 1 n < ε     ⇒     n > 1 ε
    (Wählt man beispielsweise ε = 0,01 , so muss n > 100 sein, d.h., alle Glieder der Folge ab a 101 haben von 0 einen geringeren Abstand als 0,01, liegen also in der ε -Umgebung von 0.)
     
  • Jede Folge ( a n ) = ( k n )     m i t     k ∈ ℝ (k beliebige reelle Zahl) ist eine Nullfolge.

    Der Beweis lässt sich analog dem obigen Beweis (bzw. mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen) führen.
     
  • Jede Folge ( a n ) = ( k n m )     m i t     k ∈ ℝ     u n d       m ∈ ℕ ist eine Nullfolge.

    Beweis (mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen):
      lim n → ∞ k n m = k ⋅ lim n → ∞ 1 n m = k ⋅ lim n → ∞ ( 1 n ⋅ 1 n m − 1 )             = k ⋅ lim n → ∞ 1 n ⋅ lim n → ∞ 1 n m − 1 = k ⋅ 0 ⋅ lim n → ∞ 1 n m − 1 = 0
     
  • Jede Folge ( a n ) = ( n   u n v )     m i t     u ,   v ∈ ℕ ist eine Nullfolge, wenn u < v gilt.

    Beweis:
      lim n → ∞ n   u n v = lim n → ∞ 1 n u   −   v = 0           ( w e g e n     v − u > 0     u n d     d a m i t     ( v − u ) ∈ ℕ )
     
  • Eine Folge ( a n ) = ( b n ) ( c n ) ist eine Nullfolge, wenn die Bildungsgesetze für ( b n )     u n d     ( c n ) ganzrationale Funktionen (Polynome) von n sind und der Grad von ( c n ) größer als der Grad ( b n ) von ist.

    Beweis: Es sei b n = k u n u + k u − 1 n u − 1 + ... + k 1 n + k 0 und c n = r v n v + r v − 1 n v − 1 + ... + r 1 n + r 0 mit v > u . Dann gilt:
      lim n → ∞ c n = lim n → ∞ k u n u + k u − 1 n u − 1 + ... + k 1 n + k 0 r v n v + r v − 1 n v − 1 + ... + r 1 n + r 0
    Alle Glieder werden nun durch n v dividiert, dies ergibt (unter Nutzung der Grenzwertsätze):
      lim n → ∞ c n = lim n → ∞ k u n u − v + k u − 1 n u − v − 1 + ... + k 1 n 1 − v + k 0 n − v r v + r v − 1 n − 1 + ... + r 1 n 1 − v + r 0 n − v             = lim n → ∞ k u n u − v + lim n → ∞ k u − 1 n u − v − 1 + ... + lim n → ∞ k 1 n 1 − v + lim n → ∞ k 0 n − v lim n → ∞ r v + lim n → ∞ r v − 1 n − 1 + ... + lim n → ∞ r 1 n 1 − v + lim n → ∞ r 0 n − v
    Es ist lim n → ∞ r v = r v , und alle anderen Grenzwerte haben unter der Voraussetzung v > u den Wert Null. Damit gilt:
      lim n → ∞ c n = 0 r v = 0
     
  • Jede Folge ( a n ) = ( 1 b n ) ist eine Nullfolge, wenn |   b   | > 1 gilt.

    Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss gelten |   a n − 0   | < ε .
      |   1 b n − 0   | = |   1 b n   | < ε     ⇒     |   b n   | > 1 ε
    Ist z.B. b = 2 und ε = 0,01 , so gilt:
      |   1 2 n | < 0,01     ⇒     2 n > 100     ⇒     n > lg 100 lg 2 ≈ 2 0,301 > 6
    Alle Glieder der Folge ( a n ) = ( 1 2 n ) ab a 7 = 1 2 7 = 1 128 = 00078125 haben also von 0 einen geringeren Abstand als 0,01.
     
  • Folgerung: Jede geometrische Folge ( a n ) = a 1 ⋅ q n − 1     m i t     |   q   | < 1 ist eine Nullfolge.
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Nullfolgen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/nullfolgen (Abgerufen: 20. May 2025, 12:40 UTC)

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