Nullfolgen
Unter den konvergenten Zahlenfolgen spielen die mit dem Grenzwert 0 eine besondere Rolle. Sie heißen Nullfolgen und sind u.a. für das Berechnen von Grenzwerten beliebiger Zahlenfolgen von Bedeutung. Die Betrachtung verschiedener Zahlenfolgen führt zu der Folgerung, dass jede geometrische Folge eine Nullfolge ist.
- Die Folge ist eine Nullfolge genau dann, wenn gilt.
Im Folgenden soll für einige Zahlenfolgen nachgewiesen werden, dass sie den Grenzwert 0 haben.
- Die Folge ist eine Nullfolge.
Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss gelten.
(Wählt man beispielsweise , so muss sein, d.h., alle Glieder der Folge ab haben von 0 einen geringeren Abstand als 0,01, liegen also in der -Umgebung von 0.)
- Jede Folge (k beliebige reelle Zahl) ist eine Nullfolge.
Der Beweis lässt sich analog dem obigen Beweis (bzw. mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen) führen.
- Jede Folge ist eine Nullfolge.
Beweis (mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen):
- Jede Folge ist eine Nullfolge, wenn gilt.
Beweis:
- Eine Folge ist eine Nullfolge, wenn die Bildungsgesetze für ganzrationale Funktionen (Polynome) von n sind und der Grad von größer als der Grad von ist.
Beweis: Es sei und mit . Dann gilt:
Alle Glieder werden nun durch dividiert, dies ergibt (unter Nutzung der Grenzwertsätze):
Es ist , und alle anderen Grenzwerte haben unter der Voraussetzung den Wert Null. Damit gilt:
- Jede Folge ist eine Nullfolge, wenn gilt.
Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss gelten .
Ist z.B. und , so gilt:
Alle Glieder der Folge ab haben also von 0 einen geringeren Abstand als 0,01.
- Folgerung: Jede geometrische Folge ist eine Nullfolge.
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Nullfolgen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/nullfolgen (Abgerufen: 29. April 2025, 08:01 UTC)