Umgebungen

Der Begriff der Umgebung ist in der Analysis in verschiedenen Zusammenhängen von Bedeutung, z.B. bei der Definition des Grenzwertes von Zahlenfolgen oder Funktionen bzw. bei der Erklärung der Begriffe Maximum und Minimum von Funktionen.

Allgemein bezeichnet man auf der Zahlengeraden jedes offene Intervall, das $x_{0}$ enthält, als Umgebung von $x_{0}$ , symbolisch mit $U_{ε} (x_{0})$ . Mit $ε$ -Umgebung bezeichnet man eine symmetrisch um $x_{0}$ gelegene Umgebung der Länge $2 ε$ .

Dieser Umgebungsbegriff läst sich auch auf die Ebene und den Raum übertragen.
In einer Ebene besteht eine $ε$ -Umgebung des Punktes $P_{0} (x_{0}; y_{0})$ aus allen Punkten innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt $(x_{0}; y_{0})$ und dem Durchmesser $2 ε$ ; im dreidimensionalen Raum besteht die $ε$ -Umgebung von $P_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ aus allen Punkten innerhalb einer Kugel mit dem Mittelpunkt $(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ und dem Durchmesser $2 ε$ .

Umgebungen

Eine exakte Definition des Begriffes $ε$ -Umgebung der reellen Zahl $x_{0}$ lässt sich folgendermaßen fassen:

Ist $x_{0}$ eine beliebige reelle Zahl und $ε$ eine beliebige (kleine) positive reelle Zahl, so nennt man das offene Intervall $U_{ε} (x_{0}) =] x_{0} - ε; x_{0} + ε [$ die $ε$ -Umgebung von $x_{0}$ .

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Beispiel 1: Ein Patient nehme täglich 5 mg eines Medikamentes mit einer Tablette ein. Im Laufe eines Tages werden davon 40 % vom Organismus abgebaut und ausgeschieden.

Tag	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Medikament im Körper (in mg)	5	8	9,8	10,88	11,53	11,92	12,15	12,29	12,37	12,42

Die Tabelle zeigt, wie viel Milligramm des Medikaments sich unmittelbar nach der Einnahme am n-ten Tag im Körper befinden.
Die grafische Darstellung dieser Zahlenfolge sieht folgendermaßen aus:

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Die Werte der zugrunde liegenden Zahlenfolge wachsen ständig. Sie scheinen gegen den Wert 12,5 zu streben (was sich durch Berechnung des Grenzwertes auch zeigen lässt).
Betrachtet man nun etwa die $ε$ -Umgebung von 12,5 für $ε = 0,5$ , so liegen ab dem 7. Tag alle Werte für das Medikament im Körper in $U_{0,5} (12,5)$ .

Beispiel 2: Gegeben sei die Zahlenfolge $(a_{n}) m i t a_{n} = 1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ .
Die ersten zehn Folgenlieder sind in der folgenden Tabelle angegeben.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$a_{n}$	0	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{7}{6}$	$\frac{6}{7}$	$\frac{9}{8}$	$\frac{8}{9}$	$\frac{11}{10}$

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Man erkennt: Mit wachsendem n nähern sich die Glieder dieser Zahlenfolge der Zahl 1, d.h., ihr Abstand zu 1 wird immer kleiner. Betrachtet man nun eine $ε$ -Umgebung von 1 und wählt z.B. $ε = 0,25$ , dann liegen ab dem Glied $a_{4}$ alle restlichen Folgenglieder in der $U_{0,25} (1)$ .

Man kann sogar angeben, ab welcher „Hausnummer“ bei beliebig kleinen gewählten $ε > 0$ die restlichen Folgenglieder in der $ε$ -Umgebung von 1 liegen, indem man den Begriff der $ε$ -Umgebung von $x_{0}$ in eine Ungleichung „übersetzt“:
$\begin{array}{l} U_{ε} (x_{0}) = {x : x_{0} - ε < x < x_{0} + ε} b z w . \\ U_{ε} (x_{0}) = {x : | x - x_{0} | < ε} \end{array}$

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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