Umgebungen

Allgemein bezeichnet man auf der Zahlengeraden jedes offene Intervall, das $x_0$ enthält, als Umgebung von $x_0$, symbolisch mit $U_{\epsilon }\left(x_0\right)$. Mit $\epsilon$-Umgebung bezeichnet man eine symmetrisch um $x_0$ gelegene Umgebung der Länge $2\epsilon$.

Dieser Umgebungsbegriff läst sich auch auf die Ebene und den Raum übertragen.
In einer Ebene besteht eine $\epsilon$-Umgebung des Punktes $P_0\left(x_0;y_0\right)$ aus allen Punkten innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt $\left(x_0;y_0\right)$ und dem Durchmesser $2\epsilon$; im dreidimensionalen Raum besteht die $\epsilon$-Umgebung von $P_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ aus allen Punkten innerhalb einer Kugel mit dem Mittelpunkt $\left(x_0;y_0;z_0\right)$ und dem Durchmesser $2\epsilon$.

Eine exakte Definition des Begriffes $\epsilon$-Umgebung der reellen Zahl $x_0$ lässt sich folgendermaßen fassen:

• Ist $x_0$ eine beliebige reelle Zahl und $\epsilon$ eine beliebige (kleine) positive reelle Zahl, so nennt man das offene Intervall $U_{\epsilon }\left(x_0\right)=\left]x_0-\epsilon ;x_0+\epsilon \right[$ die $\epsilon$-Umgebung von $x_0$.

Beispiel 1: Ein Patient nehme täglich 5 mg eines Medikamentes mit einer Tablette ein. Im Laufe eines Tages werden davon 40 % vom Organismus abgebaut und ausgeschieden.

Die Tabelle zeigt, wie viel Milligramm des Medikaments sich unmittelbar nach der Einnahme am n-ten Tag im Körper befinden.
Die grafische Darstellung dieser Zahlenfolge sieht folgendermaßen aus:

Die Werte der zugrunde liegenden Zahlenfolge wachsen ständig. Sie scheinen gegen den Wert 12,5 zu streben (was sich durch Berechnung des Grenzwertes auch zeigen lässt).
Betrachtet man nun etwa die $\epsilon$-Umgebung von 12,5 für $\epsilon =\mathrm{0,5}$, so liegen ab dem 7. Tag alle Werte für das Medikament im Körper in $U_{\mathrm{0,5}}\left(\mathrm{12,5}\right)$.

Beispiel 2: Gegeben sei die Zahlenfolge $\left(a_n\right)mit{a}_n=1+\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$.
Die ersten zehn Folgenlieder sind in der folgenden Tabelle angegeben.

Man erkennt: Mit wachsendem n nähern sich die Glieder dieser Zahlenfolge der Zahl 1, d.h., ihr Abstand zu 1 wird immer kleiner. Betrachtet man nun eine $\epsilon$-Umgebung von 1 und wählt z.B. $\epsilon =\mathrm{0,25}$, dann liegen ab dem Glied $a_4$ alle restlichen Folgenglieder in der $U_{\mathrm{0,25}}\left(1\right)$.

Man kann sogar angeben, ab welcher „Hausnummer“ bei beliebig kleinen gewählten $\epsilon >0$ die restlichen Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung von 1 liegen, indem man den Begriff der $\epsilon$-Umgebung von $x_0$ in eine Ungleichung „übersetzt“:
$\begin{array}{l}{U}_{\epsilon }\left(x_0\right)=\left\{x:x_0-\epsilon <x<x_0+\epsilon \right\}bzw.\\ U_{\epsilon }\left(x_0\right)=\left\{x:\left|x-x_0\right|<\epsilon \right\}\end{array}$