Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 5 Grenzwerte und Stetigkeit
  4. 5.1 Grenzwerte und Konvergenz von Zahlenfolgen; Grenzwertsätze
  5. 5.1.0 Überblick
  6. Umgebungen

Umgebungen

Der Begriff der Umgebung ist in der Analysis in verschiedenen Zusammenhängen von Bedeutung, z.B. bei der Definition des Grenzwertes von Zahlenfolgen oder Funktionen bzw. bei der Erklärung der Begriffe Maximum und Minimum von Funktionen.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Allgemein bezeichnet man auf der Zahlengeraden jedes offene Intervall, das x 0 enthält, als Umgebung von x 0 , symbolisch mit U ε ( x 0 ) . Mit ε -Umgebung bezeichnet man eine symmetrisch um x 0 gelegene Umgebung der Länge 2 ε .

Dieser Umgebungsbegriff läst sich auch auf die Ebene und den Raum übertragen.
In einer Ebene besteht eine ε -Umgebung des Punktes P 0 ( x 0 ;   y 0 ) aus allen Punkten innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt ( x 0 ;   y 0 ) und dem Durchmesser 2 ε ; im dreidimensionalen Raum besteht die ε -Umgebung von P 0 ( x 0 ;   y 0 ;   z 0 ) aus allen Punkten innerhalb einer Kugel mit dem Mittelpunkt ( x 0 ;   y 0 ;   z 0 ) und dem Durchmesser 2 ε .

  • Umgebungen

Eine exakte Definition des Begriffes ε -Umgebung der reellen Zahl x 0 lässt sich folgendermaßen fassen:

  • Ist x 0 eine beliebige reelle Zahl und ε eine beliebige (kleine) positive reelle Zahl, so nennt man das offene Intervall U ε ( x 0 ) = ]   x 0 − ε ;   x 0 + ε   [ die ε -Umgebung von x 0 .

Bild

Beispiel 1: Ein Patient nehme täglich 5 mg eines Medikamentes mit einer Tablette ein. Im Laufe eines Tages werden davon 40 % vom Organismus abgebaut und ausgeschieden.

Tag12345678910
Medikament
im Körper (in mg)
589,810,8811,5311,9212,1512,2912,3712,42

Die Tabelle zeigt, wie viel Milligramm des Medikaments sich unmittelbar nach der Einnahme am n-ten Tag im Körper befinden.
Die grafische Darstellung dieser Zahlenfolge sieht folgendermaßen aus:

Bild

Die Werte der zugrunde liegenden Zahlenfolge wachsen ständig. Sie scheinen gegen den Wert 12,5 zu streben (was sich durch Berechnung des Grenzwertes auch zeigen lässt).
Betrachtet man nun etwa die ε -Umgebung von 12,5 für ε = 0,5 , so liegen ab dem 7. Tag alle Werte für das Medikament im Körper in U 0,5 ( 12,5 ) .

Beispiel 2: Gegeben sei die Zahlenfolge ( a n )       m i t       a n = 1 + ( − 1 ) n n .
Die ersten zehn Folgenlieder sind in der folgenden Tabelle angegeben.

n12345678910
a n 0 3 2 2 3 5 4 4 5 7 6 6 7 9 8 8 9 11 10

Bild

Man erkennt: Mit wachsendem n nähern sich die Glieder dieser Zahlenfolge der Zahl 1, d.h., ihr Abstand zu 1 wird immer kleiner. Betrachtet man nun eine ε -Umgebung von 1 und wählt z.B. ε = 0,25 , dann liegen ab dem Glied a 4 alle restlichen Folgenglieder in der U 0,25 (   1   ) .

Man kann sogar angeben, ab welcher „Hausnummer“ bei beliebig kleinen gewählten ε > 0 die restlichen Folgenglieder in der ε -Umgebung von 1 liegen, indem man den Begriff der ε -Umgebung von x 0 in eine Ungleichung „übersetzt“:
  U ε ( x 0 ) = { x :       x 0 − ε < x < x 0 + ε }         b z w .   U ε ( x 0 ) = { x :       |   x − x 0   | < ε }

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Umgebungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/umgebungen (Abgerufen: 20. May 2025, 07:58 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Grenzwert
  • Punkt
  • Folgenglieder
  • Grenzwerte
  • Epsilonumgebung
  • Medikamenteneinnahme
  • Folgen
  • Analysis
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Grenzverhalten von Funktionen

Zusammenhänge aus verschiedensten Praxisbereichen lassen sich mithilfe von Funktionen beschreiben und dadurch bezüglich bestimmter Eigenschaften untersuchen. Neben anderen Eigenschaften kann dabei auch das Grenzverhalten von Funktionen, also die Veränderung ihrer Werte für unbegrenzt wachsende bzw. fallende Argumente bedeutsam sein.

Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

Bei der Untersuchung von Zahlenfolgen auf Konvergenz sind Grenzwertsätze von Nutzen. Mit deren Hilfe lassen sich Folgen komplizierterer Struktur auf einfachere Zahlenfolgen mit bekannten Grenzwerten zurückführen.

Nullfolgen

Unter den konvergenten Zahlenfolgen spielen die mit dem Grenzwert 0 eine besondere Rolle. Sie heißen Nullfolgen und sind u.a. für das Berechnen von Grenzwerten beliebiger Zahlenfolgen von Bedeutung. Die Betrachtung verschiedener Zahlenfolgen führt zu der Folgerung, dass jede geometrische Folge ( a n ) = a 1 ⋅ q n − 1     m i t     |   q   | < 1 eine Nullfolge ist.

Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte

Das Paradoxon von ACHILLES und der Schildkröte ist das wohl bekannteste der Paradoxa des griechischen Philosophen ZENON von Elea (490 bis 430 v.Chr.).
Der (scheinbare) Widerspruch der mathematischen Überlegungen ZENONS zur Wirklichkeit konnte allerdings erst mithilfe des Grenzwertbegriffes bzw. der Konvergenz unendlicher geometrischer Reihen geklärt werden.

Grenzwerte von Zahlenfolgen

Unter dem Grenzwert einer Zahlenfolge ( a n ) versteht man eine Zahl g mit folgender Eigenschaft:
Für jedes ε > 0 liegen fast alle Glieder der Zahlenfolge in der
ε -Umgebung von g, d.h., von einem bestimmten n an gilt |   a n − g   | < ε .
Zahlenfolgen mit dem Grenzwert 0 heißen Nullfolgen

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025