Umgebungen

Allgemein bezeichnet man auf der Zahlengeraden jedes offene Intervall, das x0 enthält, als Umgebung von x0, symbolisch mit Uε(x0). Mit ε-Umgebung bezeichnet man eine symmetrisch um x0 gelegene Umgebung der Länge 2ε.

Dieser Umgebungsbegriff läst sich auch auf die Ebene und den Raum übertragen.
In einer Ebene besteht eine ε-Umgebung des Punktes P0(x0;y0) aus allen Punkten innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt (x0;y0) und dem Durchmesser 2ε; im dreidimensionalen Raum besteht die ε-Umgebung von P0(x0;y0;z0) aus allen Punkten innerhalb einer Kugel mit dem Mittelpunkt (x0;y0;z0) und dem Durchmesser 2ε.

Umgebungen

Umgebungen

Eine exakte Definition des Begriffes ε-Umgebung der reellen Zahl x0 lässt sich folgendermaßen fassen:

  • Ist x0 eine beliebige reelle Zahl und ε eine beliebige (kleine) positive reelle Zahl, so nennt man das offene Intervall Uε(x0)=]x0ε;x0+ε[ die ε-Umgebung von x0.

Bild

Beispiel 1: Ein Patient nehme täglich 5 mg eines Medikamentes mit einer Tablette ein. Im Laufe eines Tages werden davon 40 % vom Organismus abgebaut und ausgeschieden.

Tag12345678910
Medikament
im Körper (in mg)
589,810,8811,5311,9212,1512,2912,3712,42

Die Tabelle zeigt, wie viel Milligramm des Medikaments sich unmittelbar nach der Einnahme am n-ten Tag im Körper befinden.
Die grafische Darstellung dieser Zahlenfolge sieht folgendermaßen aus:

Bild

Die Werte der zugrunde liegenden Zahlenfolge wachsen ständig. Sie scheinen gegen den Wert 12,5 zu streben (was sich durch Berechnung des Grenzwertes auch zeigen lässt).
Betrachtet man nun etwa die ε-Umgebung von 12,5 für ε=0,5, so liegen ab dem 7. Tag alle Werte für das Medikament im Körper in U0,5(12,5).

Beispiel 2: Gegeben sei die Zahlenfolge (an)mitan=1+(1)nn.
Die ersten zehn Folgenlieder sind in der folgenden Tabelle angegeben.

n12345678910
an032235445766798891110

Bild

Man erkennt: Mit wachsendem n nähern sich die Glieder dieser Zahlenfolge der Zahl 1, d.h., ihr Abstand zu 1 wird immer kleiner. Betrachtet man nun eine ε-Umgebung von 1 und wählt z.B. ε=0,25, dann liegen ab dem Glied a4 alle restlichen Folgenglieder in der U0,25(1).

Man kann sogar angeben, ab welcher „Hausnummer“ bei beliebig kleinen gewählten ε>0 die restlichen Folgenglieder in der ε-Umgebung von 1 liegen, indem man den Begriff der ε-Umgebung von x0 in eine Ungleichung „übersetzt“:
Uε(x0)={x:x0ε<x<x0+ε}bzw.Uε(x0)={x:|xx0|<ε}

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Learnattack

Gemeinsam zu besseren Noten!Kooperation mit Duden Learnattack

Lernvideos, interaktive Übungen und WhatsApp-Nachhilfe – jetzt Duden Learnattack 48 Stunden kostenlos testen.

Du wirst automatisch zu Learnattack weitergeleitet.
Lexikon Share
Beliebte Artikel
alle anzeigen

Einloggen