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Grundgesamtheiten und Stichproben

In der Statistik werden statistische (Daten-)Mengen untersucht und dabei ein interessierender statistischer Zusammenhang durch eine Zufallsgröße, z.B. die Zufallsgröße X, beschrieben.

  • Definition: Statistische Mengen sind Gesamtheiten von Ereignissen, Objekten oder Individuen. Die Menge aller Ereignisse bzw. Objekte oder Individuen, die zu einem klar gekennzeichneten Merkmal (oder einer Merkmalsgruppe) gebildet werden kann, bezeichnet man als Grundgesamtheit, bei Individuen auch als Population.

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Beispiele für Grundgesamtheiten (und sich darauf beziehende Zufallsgrößen) wären so die Menge

  1. aller wahlberechtigten Bürger eines Bundeslandes
    (Zufallsgröße X: Anzahl der Bürger, die Wähler einer
    bestimmten Partei sind);
  2. aller Bäume eines Waldgebietes
    (Zufallsgröße X: Anzahl der Bäume, die Schädigungen durch Umwelteinflüsse aufweisen);
  3. aller Artikel einer bestimmten Sorte aus der Tagesproduktion einer Firma
    (Zufallsgröße X: Anzahl der unbrauchbaren Artikel);
  4. aller Erdbeben im Zeitraum von 100 Jahren in einem bebenintensiven Gebiet
    (Zufallsgröße X: Anzahl der Beben ab einer bestimmten Stärke);
  5. aller Unfälle im Straßenverkehr innerhalb einer Stadt
    (Zufallsgröße X: Anzahl der betroffenen Fußgänger).

Bei statistischen Untersuchungen ist es im Allgemeinen aus praktisch-organisatorischen Gründen nicht möglich oder aus Kostengründen nicht erwünscht, eine interessierende Grundgesamtheit vollständig zu untersuchen. Man denke beispielsweise an

  1. Wahlprognosen, die selbstverständlich nicht die Wahl vorwegnehmen bzw. ersetzen können;
  2. Qualitätsprüfungen, die nicht zerstörungsfrei bzw. ohne Folgeschäden bleiben (wie Untersuchungen von Materialien auf Elastizität).

Aufgabe der Beurteilenden Statistik ist es deshalb vielmehr, aus Eigenschaften von Teilmengen einer Grundgesamtheit (wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung des statistisch interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit unbekannt ist) die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten statistisch interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit zu schätzen und die Signifikanz des Schätzwertes zu beurteilen.

  • Defínition: Eine aus einer Grundgesamtheit (im Allgemeinen zufällig – „auf gut Glück“) ausgewählte (Teil-)Menge mit n Elementen heißt Stichprobe.
    Die Elemente X 1 ,     X 2 ,     ...     ,     X n der Stichprobe sind Zahlenwerte der Zufallsgröße X. Die Anzahl n der Elemente gibt den Umfang der Stichprobe (kurz als Stichprobenumfang bezeichnet) an.
    Jedes einzelne Element der Stichprobe heißt Stichprobenwert.

Um aus Eigenschaften der Stichprobe mit einer gewissen Sicherheit auf Eigenschaften der Grundgesamtheit schließen zu können, muss die Stichprobe charakteristisch – man sagt repräsentativ – für die Grundgesamtheit sein.

Eine Stichprobe gilt als repräsentativ, wenn sie annähernd so wie die Grundgesamtheit zusammengesetzt und ihr Umfang hinreichend groß ist. Darüber hinaus müssen die interessierenden Eigenschaften der Elemente der Stichprobe quantifizierbar, also zahlenmäßig erfassbar und beschreibbar sein.

Das Erfassen und Beschreiben der Grundgesamtheit bzw. der Stichprobe übernimmt die Beschreibende Statistik. Die Untersuchung der Stichprobe mithilfe von Schätz- und Testverfahren (einschließlich Entscheidungen und Angaben zu deren Zuverlässigkeit) leistet die Beurteilende Statistik.

Der erste wichtige Schritt einer Untersuchung ist die genaue Festlegung bzw. Kennzeichnung der Grundgesamtheit.
Der zweite Schritt besteht in der Planung der Zusammensetzung der Stichprobe.

Um Repräsentativität zu erreichen, dürfen Zusammensetzung und Umfang der Stichprobe nicht dem Zufall überlassen bleiben; das Ermitteln ihrer einzelnen Elemente dagegen erfolgt zufällig. Für einen hinreichend großen Stichprobenumfang gibt der sogenannte Auswahlsatz a eine Orientierung. Es gilt:
Auswahlsatz a = U m f a n g       n       d e r       S t i c h p r o b e     U m f a n g       N       d e r       G r u n d g e s a m t h e i t · 100 %

Der Umfang der Grundgesamtheit N muss ggf. geschätzt werden.
Für den Auswahlsatz a existieren empirisch gewonnene Erfahrungswerte. Diese Werte variieren z.B. in Abhängigkeit von der Zusammensetzung einer Stichprobe sowie der Art des Sachgebietes der Grundgesamtheit. Als ein grober Richtwert kann a = 10 % angesehen werden.

In der statistischen Praxis sind allerdings sowohl erheblich kleinere a-Werte (z.B. a < 1 % bei Wahlprognosen) als auch erheblich größere Werte (z.B. a > 20 % bei Qualitätskontrollen) zu finden. Dies hat seinen Grund in entsprechenden jahrzehntelangen Erfahrungen (Wahlprognosen) oder ständig wechselnder Spezifik und daher fehlender Erfahrung (Qualitätskontrollen) bei der Zusammensetzung von Stichproben aus dem jeweiligen Sachgebiet.

Bei einer geeigneten Zusammensetzung der Stichprobe gilt: Je größer der Auswahlsatz, desto sicherer die Repräsentativität der Stichprobe.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Grundgesamtheiten und Stichproben." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/grundgesamtheiten-und-stichproben (Abgerufen: 19. May 2025, 19:19 UTC)

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Beispiel eines Signifikanztests

Ein statistischer Test (auf signifikante Unterschiede), bei dem auf Stichprobenbasis über die Beibehaltung der (einfachen oder zusammengesetzten) Nullhypothese H 0 oder deren Ablehnung entschieden wird, heißt normaler Signifikanztest, kurz: Signifikanztest.
Während bei einem Alternativtest zwei (im Allgemeinen einfache) Hypothesen gegeben sind, von denen man eine – in Abhängigkeit von der praktischen Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – als Nullhypothese wählt, ist bei einem Signifikanztest nur eine (einfache oder zusammengesetzte) Hypothese gegeben. Als Nullhypothese wird die gegebene Hypothese oder ihre Verneinung (Negation) gewählt – in Abhängigkeit davon, bei welcher von beiden der Fehler 1. Art bezüglich des vorliegenden konkreten Sachverhalts von größerer Bedeutung ist als der (im Allgemeinen nicht eindeutig zu berechnende) Fehler 2. Art.

In den folgenden Beispielen werden typische Entscheidungsfragen untersucht, für deren prüfstatistische Absicherung Signifikanztest üblich sind.

Signifikanztests

  • Definition: Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest), bei dem auf Stichprobenbasis über die Beibehaltung der (einfachen oder zusammengesetzten) Nullhypothese H 0 oder deren Ablehnung entschieden wird, heißt normaler Signifikanztest, kurz: Signifikanztest.

Bei einem Alternativtest sind zwei (im Allgemeinen einfache) Hypothesen gegeben, von denen eine – in Abhängigkeit von der praktischen Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – als Nullhypothese gewählt wird. Im Gegensatz dazu ist bei einem Signifikanztest nur eine (einfache oder zusammengesetzte) Hypothese gegeben. Als Nullhypothese wird die gegebene Hypothese oder – falls möglich und mit Blick auf die Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – ihre Verneinung (Negation) gewählt.

Zusammensetzung von Stichproben

Wird aus einer Grundgesamtheit „auf gut Glück“ eine (Teil-)Menge mit n Elementen ausgewählt, so handelt es sich dabei um eine sogenannte Stichprobe. Die Anzahl n der Elemente gibt den Umfang der Stichprobe, den Stichprobenumfang an. Jedes einzelne Element der Stichprobe heißt Stichprobenwert.

Man kann auch sagen: In einer Stichprobe werden n-mal wiederholte Beobachtungen ein und derselben Zufallsgröße zusammengefasst.

Variieren die Beobachtungsergebnisse in nicht vorhersagbarer Weise (Zufälligkeit der Beobachtungsergebnisse) und beeinflussen sie einander nicht, sind sie also unabhängig voneinander, so hebt man dies gelegentlich durch die Verwendung des Begriffes Zufallsstichprobe besonders hervor.

Unabhängigkeit der Beobachtungsergebnisse heißt also: Unabhängig davon, welche Elemente zuvor bereits für die Stichprobe „auf gut Glück“ ausgewählt worden sind, kann anschließend jedes Element der Grundgesamtheit mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden.

Als häufige Auswahlformen von (Zufalls-)Stichproben seien die Klumpenstichprobe und die (proportional) geschichtete Stichprobe genannt.

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Beispiel eines Alternativtests

Statistische Untersuchungen wie zum Beispiel ein Alternativtest werden für die Qualitätskontrolle eingesetzt.
Bei der Testkonstruktion ist in folgenden Hauptschritten vorzugehen:

  1. Man legt fest, was als Nullhypothese und was als Alternativhypothese zu formulieren ist. Dabei ist zu beachten, in welchem Maße Vorsicht angebracht ist bzw. wo (ob) man größere Risiken eingehen darf.
  2. Man legt den Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese fest und ermittelt daraus das zugehörige Signifikanzniveau (also den Fehler 1. Art) und den Fehler 2. Art.

Alternativ geht man von einem vorgegebenen Signifikanzniveau aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese sowie den Fehler 2. Art.

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