Integration durch lineare Substitution

Während beim Differenzieren elementarer Funktionen wieder elementare Funktionen entstehen, gibt es zahlreiche elementare Funktionen, deren unbestimmte Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen.
Scheinbar geringfügige Veränderungen im Funktionsterm erfordern u.U. völlig andere Lösungswege oder führen zu nicht mehr elementar integrierbaren Funktionen.

Als Beispiele seien die Funktionen $f (x) = x \cdot \sin x u n d g (x) = \frac{x}{\sin x}$ genannt:
Während die Funktion f mit der Methode der partiellen Integration elementar integrierbar ist, kann man das Integral der Funktion g nicht mit elementaren Mitteln berechnen. Ähnlich verhalten sich die Funktionen $f (x) = x \cdot e^{x} u n d g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

Bei der Integration von Produkten von Funktionen oder von verketteten Funktionen findet häufig die Substitutionsmethode Anwendung.

Ist in der verketteten Integrandenfunktion die innere Funktion eine lineare Funktion, so kann die Integration durch lineare Substitution erfolgen. Es gilt der folgende Satz:

Es sei f eine verkettete Funktion mit $f (x) = v (u (x))$ und $z = u (x) = m x + n$ sowie F eine Stammfunktion der äußeren Funktion v. Dann ist:
$\int f (x) d x = \int v (m x + n) d x = \frac{1}{m} F (m x + n) + C$

Beispiele

a) $\int \sin (2 x - 1) d x = - \frac{1}{2} \cos (2 x - 1) + C$
b) ${\int_{1}^{3} e^{2 x + 4} d x = [\frac{1}{2} e^{2 x + 4}]}_{1}^{3} = \frac{e^{10} - e^{6}}{2} \approx 10811,5$

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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