Lineare Gleichungssysteme (Matrixschreibweise)

Ein lineares Gleichungssystems mit den Variablen x i ( i = 1, 2, ..., n ) lässt sich folgendermaßen darstellen:

a 11 x 1 + a 12 x x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x x 2 + a 33 x 3 + ... + a 3 n x n = b 3 ... ... a m 1 x 1 + a m 2 x x 2 + a m 3 x 3 + ... + a m n x n = b m

Dabei werden die a i j ( m i t i = 1, 2, ..., n u n d j = 1, 2, ..., m ) als Koeffizienten des Gleichungssystems und die b j ( m i t j = 1, 2, ..., m ) als die Absolutglieder bezeichnet.

Sind alle b j = 0 , so liegt ein homogenes lineares Gleichungssystem vor. Sonst spricht man von einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.

In Matrixschreibweise stellt sich ein lineares Gleichungssystem folgendermaßen dar:
A x = b

Hierbei sind A die Koeffizientenmatrix, b der Vektor der Absolutglieder und x der Vektor der Variablen (Lösungsvektor) mit
A = ( a 11 a 12 a 13 ... a 1 n a 21 a 22 a 23 ... a 2 n a 31 a 32 a 33 ... a 3 n ... ... ... ... ... a m 1 a m 2 a m 3 ... a m n )
und
b = ( b 1 b 2 b 3 ... b m ) T x = ( x 1 x 2 x 3 ... x n ) T .

  • Beispiel 1 (inhomogenes lineares Gleichungssystem):
    x 1 + 2 x 2 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 4 x 1 + 16 x 2 + x 3 = 2

    Es ist:
    A = ( 1 2 0 1 1 1 4 16 1 ) b = ( 1 1 2 )
  • Beispiel 2 (homogenes lineares Gleichungssystem):
    x 1 + 2 x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 4 x 1 + 16 x 2 + x 3 = 0

    Es ist:
    A = ( 1 2 0 1 1 1 4 16 1 ) b = ( 0 0 0 )

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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