Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 13 Wahrscheinlichkeitstheorie
  4. 13.5 Binomialverteilung
  5. 13.5.7 Normalverteilung
  6. Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Auf der Suche nach „dem durchschnittlichen, dem normalen Menschen“ (l' homme moyen) ließ der auf vielen Gebieten tätige belgische Wissenschaftler LAMBERT ADOLPHE JACQUES QUÉTELET (1796 bis 1874) in den 30er Jahren des 19. Jahrhunderts biometrische Messungen in großem Umfang durchführen. In vielen Fällen wurde dabei seine Vorstellung bestätigt, dass die Häufigkeitsverteilung der gemessenen Werte (etwa zum Brustumfang) einer symmetrischen Glockenkurve entspricht. Das mag wohl auch ein wichtiger Grund dafür gewesen sein, dieser gleichsam als naturgemäß angesehenen Verteilung den Namen Normalverteilung zu geben, wobei diese Bezeichnung auch zu allerlei Fehldeutungen führte – vor allem dann, wenn alles nicht Normalverteilte als anormal eingestuft wurde.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Das Geburtsdatum der Normalverteilung lag aber fast 100 Jahre früher, als ABRAHAM DE MOIVRE (1667 bis 1754) im Jahre 1733 in einer kleinen Abhandlung die Normalverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung herleitete.

Die große Anziehungskraft, die von dieser Verteilung auf viele Gelehrte ausging, resultierte hauptsächlich aus den mathematischen Arbeiten von PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827) und CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855), die diese im Zusammenhang mit einer Theorie der Beobachtungsfehler Anfang des 19. Jahrhunderts veröffentlicht hatten. Daran anschließend spricht man auch von der gaußschen Glockenkurve.

Die Normalverteilung, für die im Folgenden eine Definition angegeben wird, zählt auch heute noch zu den bekanntesten und am häufigsten verwendeten Verteilungen.

  • Definition: Eine stetige Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion
    f :       x ↦ 1 2 π σ 2 ⋅ e −   ( x   −   μ ) 2 2 σ 2
    heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ 2 ( m i t       μ ∈ ℝ ;       σ > 0 ) .

Anmerkung: Man nennt dann die Zufallsgröße X auch ( μ ;   σ 2 ) -normalverteilt oder kurz N ( μ ;   σ 2 ) -verteilt . Als Schreibweise verwendet man vielfach X ∼ N ( μ ;   σ 2 ) .

Für die Verteilungsfunktion F einer normalverteilten Zufallsgröße ergibt sich damit:
  P ( X ≤ a ) = F ( a ) = ∫ − ∞ a f ( x )   d x     ( a ∈ ℝ )

Der Graph der Dichtefunktion f einer normalverteilten Zufallsgröße ist eine Glockenkurve.

Bild

Führt man (wie in der Analysis) eine Kurvendiskussion durch, so ergibt sich weiterhin:
Der Graph der Dichtefunktion f hat als einzigen Extrempunkt den Hochpunkt (lokalen Maximumpunkt)
H ( μ     ;   1 2 π σ 2 ) ,
die Wendepunkte
W 1 ;   2 ( μ ± σ ;   1 2 e π σ 2 )
und die Symmetrieachse mit der Gleichung x = μ .

Indem man interaktiv die Werte für μ und σ verändert, kann man erkennen, dass sich

  1. der Graph von f längs der x-Achse verschiebt, falls sich μ ändert,
  2. der Graph von f in y-Richtung streckt bzw. staucht, falls sich σ ändert (je kleiner σ ist, umso stärker konzentriert sich der Graph von f um den Wert μ ).
  • Graphen der Dichtefunktionen f (für spezielle Werte)

Den Inhalt der Fläche unterhalb des Graphen von f über dem Intervall ]   − ∞ ;   a ] interpretiert man in der Stochastik (d.h. wenn f als Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße aufgefasst wird) als die Wahrscheinlichkeit P ( X ≤ a ) .

Bild

Jede ( μ ;   σ 2 ) -normalverteilte Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion f besitzt den Erwartungswert E X = μ .

Dies kann man sich zum einen durch eine Plausibilitätsbetrachtung klarmachen: Der Graph der Dichtefunktion f von N ( μ ;   σ 2 ) verläuft axialsymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x = μ .

Folglich kann μ als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit als Erwartungswert von X betrachtet werden.

Zum anderen lässt sich ferner unter Verwendung von
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π
mit Mitteln der Analysis beweisen, dass gilt:
  E X = ∫ − ∞ ∞ [ x ⋅ 1 2 π σ 2 e − ( x   −   μ ) 2 σ 2 2 ]   d x = μ

Schließlich gibt es auch die Möglichkeit, das zur Bestimmung von EX zu berechnende Integral für verschiedene Werte von μ und σ interaktiv auszurechnen und zu prüfen, ob sich μ ergibt.

  • Erwartungswert der Normalverteilung (für spezielle Werte)

Jede Zufallsgröße X ∼ N ( μ ;   σ 2 ) besitzt die Streuung (bzw. Varianz) D 2 X = σ 2 .

Auch dies kann man sich durch eine Plausibilitätsbetrachtung verdeutlichen. Der Parameter σ 2 charakterisiert die Wendestellen x W 1 = μ − σ       u n d       x W 2 = μ + σ des Graphen ihrer Dichtefunktion f.

Je größer σ 2 ist, desto breiter ist der glockenförmige Graph von f und desto größer müsste demzufolge die Streuung D 2 X von X sein.

Interaktiv kann man das zur Bestimmung von D 2 X zu berechnende Integral für verschiedene Werte von μ und σ ausrechnen und prüfen, ob sich σ 2 ergibt.

Die Normalverteilung besitzt eine große praktische Bedeutung, was vor allem aus folgenden Eigenschaften resultiert:

  1. Mithilfe der Normalverteilung ist es möglich, die Werte der Binomialverteilung näherungsweise zu berechnen.
  2. Ein zufälliger Vorgang, der durch Überlagerung sehr vieler, kleiner, unabhängiger zufälliger Effekte entsteht, kann näherungsweise durch eine Normalverteilung beschrieben werden. Der zentrale Grenzwertsatz liefert dafür die theoretische Begründung.
  3. Kann man bei einem zufälligen Vorgang aus inhaltlichen Erwägungen davon ausgehen, dass er sich durch eine Normalverteilung modellieren lässt, so reicht es aus, den Erwartungswert μ und die Streuung σ 2 zu bestimmen, denn diese beiden Kennzahlen konstituieren eine Normalverteilung vollständig.

Ist X eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern μ und σ 2 , dann ist die standardisierte Zufallsgröße Y = X − μ σ ebenfalls normalverteilt, und zwar N ( 0 ;   1 ) -verteilt .

Man bezeichnet diese als standardnormalverteilt und den Graphen ihrer Dichtefunktion als gaußsche Glockenkurve. Wahrscheinlichkeiten für beliebige normalverteilte Zufallsgrößen können demzufolge auf Wahrscheinlichkeiten einer einzigen, speziellen Normalverteilung zurückgeführt werden. Das vereinfacht viele praktische Berechnungen erheblich.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Normalverteilung (Gauß-Verteilung)." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/normalverteilung-gauss-verteilung (Abgerufen: 19. May 2025, 14:22 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Berechnung
  • Glockenkurve
  • Standardnormalverteilung
  • Mathcad
  • gaußsche Glockenkurve
  • Schwerpunkt
  • normalverteilt
  • Verteilungsfunktion
  • Quételet
  • zentraler Grenzwertsatz
  • interaktives Rechenbeispiel
  • Zufallsgrößen
  • Dichtefunktion
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung
  • Biometrie
  • Gauss
  • standardnormalverteilt
  • Varianz
  • Moivre
  • Erwartungswert
  • Gauß
  • Approximation
  • Binomialverteilung
  • Streuung
  • Animation
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Definition der Binomialverteilung

Wird ein BERNOULLI-Experiment n-mal durchgeführt, ohne dass sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p ändert, so ist die zufällige Anzahl der Erfolge eine Zufallsgröße X, die die n + 1 Werte 0 ;    1 ;    2 ;    ... ;    n annehmen kann.
Nach der BERNOULLI-Formel gilt dann:

\(P({genau   k   Erfolge})=P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k=:Bn; p({k})\)

Daraus folgt die Definition der Binomialverteilung.

Kenngrößen der Binomialverteilung

Kenngrößen von Zufallsgrößen dienen deren quantitativer Charakterisierung. Wir betrachten im Folgenden binomialverteilte Zufallsgrößen.

Der Grenzwertsatz von Moivre-Laplace

Grenzwertsätze gehören zu den wichtigsten Aussagen der Stochastik. Der französische Mathematiker PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827) nannte sie eine der interessantesten und heikelsten Teile der Analysis des Zufalls.

Wie es schon sein Name zum Ausdruck bringt, kommt dabei dem Zentralen Grenzwertsatz, der eine theoretische Erklärung für das Auftreten der Normalverteilung liefert, eine besondere Stellung zu. Die älteste Fassung des Zentralen Grenzwertsatzes in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE, der die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung beschreibt.

Praktisch wird dieser Satz vor allem zum näherungsweisen Berechnen von Binomialwahrscheinlichkeiten benutzt.

Abraham de Moivre

* 26. Mai 1667 Vitry (bei Paris)
† 27. November 1754 London

ABRAHAM DE MOIVRE, der als Emigrant in London lebte, gilt als einer der Pioniere der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Speziell seine Untersuchungen zu Sterblichkeits- und Rentenproblemen bildeten eine Grundlage für die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie durch LAPLACE.

Siméon Denis Poisson

* 21. Juni 1781 Pithiviers (Dep. Loiret)
† 25. April 1840 Paris

SIMÉON DENIS POISSON war ein äußerst vielseitiger Wissenschaftler. Seine Arbeitsgebiete umfassten nahezu alle Teilgebiete der Physik sowie in der Mathematik neben Infinitesimalrechnung und Differenzialgeometrie vor allem die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Nicht wenige Größen und Gesetze in Physik und Mathematik tragen heute seinen Namen.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025