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Standardnormalverteilung

Eine Normalverteilung N ( μ ;   σ 2 ) wird vollständig bestimmt durch ihren Erwartungswert μ und ihre Streuung σ 2 . Es liegt deshalb die Frage nahe, ob man eine beliebige Normalverteilung in eine spezielle Normalverteilung transformieren kann – und zwar in eine mit solchen Parametern, die den Termen ihrer Dichte- und Verteilungsfunktion eine möglichst einfache Gestalt geben. Für eine ( 0 ;   1 ) -normalverteilte Zufallsgröße wäre dies der Fall:
Für die Werte μ = 0       u n d       σ = 1 erhält man als Spezialfall die Standardnormalverteilung.

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Ist X eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern μ und σ 2 , dann ist die standardisierte Zufallsgröße Y = X − μ σ ebenfalls normalverteilt, und zwar N ( 0 ;   1 ) -verteilt . Man nennt diese Zufallsgröße dann standardnormalverteilt und spricht von der Standardnormalverteilung.

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet man mit ϕ . Es gilt:
  ϕ ( x ) = 1 2 π ⋅ e −   x 2 2

  • Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

Der Graph dieser Dichtefunktion, die sogenannte gaußsche Glockenkurve, ist axialsymmetrisch zur y-Achse, weil ϕ ( x ) = ϕ ( −   x ) für alle x ∈ ℝ gilt.
Für x = 0 hat der Graph ein Maximum mit dem Wert ϕ ( 0 ) = 1 2 π ≈ 0,399 .

Die beiden Wendepunkte liegen bei x 1 = − 1 und x 2 = 1 .

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird mit Φ bezeichnet und häufig auch gaußsche Summenfunktion genannt. Es gilt:
  Φ ( a ) = ∫ − ∞ a ϕ ( x )   d x

Der Graph dieser Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum (0; 0,5), weil Φ ( −   a ) = 1 − Φ ( a ) für alle a ∈ ℝ gilt.

  • Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Es sei Y standardnormalverteilt.
Dann kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( Y ≤ a ) = Φ ( a ) = ∫ − ∞ a ϕ ( x )   d x
sowohl als Inhalt der Fläche unterhalb des Graphen der Dichtefunktion ϕ über dem Intervall ]   − ∞ ;   a ] als auch als Wert der Verteilungsfunktion Φ an der Stelle x = a interpretieren.

Es gelten folgende Rechenregeln für die Wahrscheinlichkeiten ( f ü r       a ,   b ,   c ∈ ℝ ;       c > 0 ) :
  (   1   )       P ( a ≤ Y ≤ b ) = Φ ( b ) − Φ ( a )   ( 2 )       P ( Y > a ) = 1 − Φ ( a )   ( 3 )       P ( −   c ≤ Y ≤ c ) = 2 ⋅ Φ ( c ) − 1

Es sei nun Y ∼ N ( 0 ;   1 ) und X = σ Y + μ , d.h., es ist X ∼ N ( μ ;   σ 2 ) .
Für eine solche N ( μ ;   σ 2 ) -verteilte Zufallsgröße X lauten diese Rechenregeln (unter Beachtung der Transformationsgleichung Y = X − μ σ ) dann wie folgt:
  (   1   )       P ( a ≤ X ≤ b ) = Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ )   ( 2 )       P ( X > a ) = 1 − Φ ( a − μ σ )   ( 3 )       P ( − c ≤ X ≤ c ) = 2 ⋅ Φ ( c − μ σ ) − 1

Mit der Rückführung einer beliebigen Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung reduziert sich der Aufwand zur Berechnung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten erheblich. Trotzdem bleibt die Schwierigkeit bestehen, dass die Dichtefunktion ϕ keine elementare Stammfunktion besitzt.

Man hat deshalb die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung (und auch die Dichtefunktion ϕ ) tabelliert, und zwar nur für nichtnegative Argumente, da die Funktionswerte für negative Argumente durch die Gleichung Φ ( −   x ) = 1 − Φ ( x ) gewonnen werden können. Dabei wurden die Funktionswerte von Φ mithilfe folgender Reihendarstellung von Φ bestimmt:
  Φ ( x ) ≈ 1 2 + x 2 π ⋅ ( 1 + ∑ k = 1 n ( − 1 ) k x 2 k k !   ⋅ 2 k ⋅ ( 2 k + 1 ) )

Auf dem (Taschen-)Computer kann man dieses Verfahren nachvollziehen, indem die n-te Partialsumme dieser Reihe als Funktionsterm in Abhängigkeit von x und n definiert wird.

Bild

Moderne Mathematiksoftware verfügt über spezielle Programme zur Integralberechnung, sodass es möglich ist, die Werte von
Φ ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π e −   t 2 2   d t
direkt zu bestimmen. Dabei wird aber mitunter eine erhebliche Rechenzeit benötigt, die vor allem aus der unteren Integrationsgrenze −   ∞ resultiert.

Die Rechenzeit kann erheblich verkürzt werden, wenn man als untere Integrationsgrenze eine endliche Zahl wählt (etwa –5).

Bild

Das führt im Allgemeinen zu keinem Genauigkeitsverlust, denn es gilt z.B.:
  Φ ( −   3 ) ≈ 0,00135   Φ ( −   4 ) ≈ 0,000032   Φ ( −   5 ) ≈ 0,000000287

Der Anwender benötigt also bei der Arbeit mit der Normalverteilung keine Integralrechnung, sondern nur ein Tafelwerk der Stochastik oder einen entsprechenden Computer.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Standardnormalverteilung." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/standardnormalverteilung (Abgerufen: 09. June 2025, 03:59 UTC)

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