Standardnormalverteilung

Ist X eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern μ und σ2, dann ist die standardisierte Zufallsgröße Y=Xμσ ebenfalls normalverteilt, und zwar N(0;1)-verteilt. Man nennt diese Zufallsgröße dann standardnormalverteilt und spricht von der Standardnormalverteilung.

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet man mit ϕ. Es gilt:
ϕ(x)=12πex22

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

Der Graph dieser Dichtefunktion, die sogenannte gaußsche Glockenkurve, ist axialsymmetrisch zur y-Achse, weil ϕ(x)=ϕ(x) für alle x gilt.
Für x=0 hat der Graph ein Maximum mit dem Wert ϕ(0)=12π0,399.

Die beiden Wendepunkte liegen bei x1=1 und x2=1.

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird mit Φ bezeichnet und häufig auch gaußsche Summenfunktion genannt. Es gilt:
Φ(a)=aϕ(x)dx

Der Graph dieser Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum (0; 0,5), weil Φ(a)=1Φ(a) für alle a gilt.

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Es sei Y standardnormalverteilt.
Dann kann man die Wahrscheinlichkeit
P(Ya)=Φ(a)=aϕ(x)dx
sowohl als Inhalt der Fläche unterhalb des Graphen der Dichtefunktion ϕ über dem Intervall ];a] als auch als Wert der Verteilungsfunktion Φ an der Stelle x = a interpretieren.

Es gelten folgende Rechenregeln für die Wahrscheinlichkeiten (füra,b,c;c>0):
(1)P(aYb)=Φ(b)Φ(a)(2)P(Y>a)=1Φ(a)(3)P(cYc)=2Φ(c)1

Es sei nun YN(0;1) und X=σY+μ, d.h., es ist XN(μ;σ2).
Für eine solche N(μ;σ2)-verteilte Zufallsgröße X lauten diese Rechenregeln (unter Beachtung der Transformationsgleichung Y=Xμσ) dann wie folgt:
(1)P(aXb)=Φ(bμσ)Φ(aμσ)(2)P(X>a)=1Φ(aμσ)(3)P(cXc)=2Φ(cμσ)1

Mit der Rückführung einer beliebigen Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung reduziert sich der Aufwand zur Berechnung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten erheblich. Trotzdem bleibt die Schwierigkeit bestehen, dass die Dichtefunktion ϕ keine elementare Stammfunktion besitzt.

Man hat deshalb die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung (und auch die Dichtefunktion ϕ) tabelliert, und zwar nur für nichtnegative Argumente, da die Funktionswerte für negative Argumente durch die Gleichung Φ(x)=1Φ(x) gewonnen werden können. Dabei wurden die Funktionswerte von Φ mithilfe folgender Reihendarstellung von Φ bestimmt:
Φ(x)12+x2π(1+k=1n(1)kx2kk!2k(2k+1))

Auf dem (Taschen-)Computer kann man dieses Verfahren nachvollziehen, indem die n-te Partialsumme dieser Reihe als Funktionsterm in Abhängigkeit von x und n definiert wird.

Bild

Moderne Mathematiksoftware verfügt über spezielle Programme zur Integralberechnung, sodass es möglich ist, die Werte von
Φ(x)=x12πet22dt
direkt zu bestimmen. Dabei wird aber mitunter eine erhebliche Rechenzeit benötigt, die vor allem aus der unteren Integrationsgrenze resultiert.

Die Rechenzeit kann erheblich verkürzt werden, wenn man als untere Integrationsgrenze eine endliche Zahl wählt (etwa –5).

Bild

Das führt im Allgemeinen zu keinem Genauigkeitsverlust, denn es gilt z.B.:
Φ(3)0,00135Φ(4)0,000032Φ(5)0,000000287

Der Anwender benötigt also bei der Arbeit mit der Normalverteilung keine Integralrechnung, sondern nur ein Tafelwerk der Stochastik oder einen entsprechenden Computer.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Learnattack

Gemeinsam zu besseren Noten!Kooperation mit Duden Learnattack

Lernvideos, interaktive Übungen und WhatsApp-Nachhilfe – jetzt Duden Learnattack 48 Stunden kostenlos testen.

Du wirst automatisch zu Learnattack weitergeleitet.
Lexikon Share
Beliebte Artikel
alle anzeigen

Einloggen