Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 10 Vektoren und Vektorräume
  4. 10.5 Koordinatensysteme
  5. 10.5.0 Überblick
  6. Polarkoordinatensystem

Polarkoordinatensystem

Ein Punkt der Ebene kann durch die Angabe von zwei Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem, einem geordneten Zahlenpaar [ x ;   y ] , eindeutig beschrieben werden.

Eine weitere Möglichkeit stellt die folgende Vorgehensweise dar:
Ein Ursprungspunkt O wird beliebig festgelegt. Von diesem ausgehend wird ein Strahl gezeichnet. Nun beschreiben der Abstand r des Punktes P von O und der Drehwinkel ϕ mit 0   ° ≤ ϕ < 360   ° , um den der Strahl aus seiner Ursprungslage bis zum Punkt P werden muss, die Lage des Punktes P eineindeutig.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Bild

Im Polarkoordinatensystem wird also die Lage eines Punktes beschrieben durch:

  1. die Maßzahl einer Strecke, den Abstand r der Punkte O und P;
  2. die Maßzahl eines Winkels, den Drehwinkel ϕ des Koordinatenstrahls
  • Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten eins Punktes O
  • Unter den Polarkoordinaten eines Punktes P versteht man ein Zahlenpaar [ r ;   ϕ ] , wobei r den Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O sowie ϕ den Winkel zwischen x-Achse und dem Strahl OP angibt.

Die folgende Tabelle gibt die Umrechnungsmöglichkeiten von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (und umgekehrt) an:

Kartesische KoordinatenPolarkoordinaten
x = r cos ϕ y = r sin ϕ r = x 2 + y 2 ϕ = a r c   tan y x
  • Beispiel 1: Es sind die Polarkoordinaten des Punktes P ( 3 ;   4 ) anzugeben.

Aus x = 3       u n d       y = 4 ergibt sich durch Anwenden obiger Formeln:
  r = 9 + 16 = 5 ϕ = a r c   tan 4 3 ≈ 53,13   °

  • Beispiel 2: Gegeben seien mit r = 3       u n d       ϕ = 50   ° die Polarkoordinaten eines Punktes P. Es sind die kartesischen Koordinaten von P zu ermitteln.

Mithilfe obiger Umrechnungsformeln erhält man:
  x = 3 ⋅ cos 50   ° ≈ 1,93 y = 3 ⋅ sin 50   ° ≈ 2,30   ⇒ P ( 1,93 ;   2,30 )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Polarkoordinatensystem." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/polarkoordinatensystem (Abgerufen: 19. May 2025, 20:06 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Berechnung
  • Polarkoordinaten
  • Abstand
  • Mathcad
  • kartesische Koordinaten
  • interaktives Rechenbeispiel
  • geordnetes Zahlenpaar
  • Drehwinkel
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Definition der Kegelschnitte

Als Kegelschnitte bezeichnet man Kurven, die beim Schnitt eines geraden Doppelkreiskegels (Rotationskegels) mit einer Ebene ε entstehen.

Gleichungen der Kegelschnitte

Im Allgemeinen werden (nur) Kegelschnitte in sogenannter achsenparalleler Lage betrachtet. Dann lassen sich relativ einfache Mittelpunktsgleichungen für Kreis, Ellipse und Hyperbel sowie eine allgemeine Scheitelgleichung für alle Kegelschnitte angegeben.

René Descartes

* 31. März 1596 La Haye bei Tours
† 11. Februar 1650 Stockholm

Der französische Philosoph RENÉ DESCARTES gilt als einer der Wegbereiter der Aufklärung in Europa. Auf mathematischem Gebiet arbeitete er vor allem zur analytischen Geometrie. So geht die heute gebräuchliche Form des (kartesischen) Koordinatensystems auf ihn zurück. Auch setzte er sich dafür ein, mathematische (deduktive) Methoden in der Philosophie anzuwenden.

Koordinatentransformationen

Mitunter erweist es sich als zweckmäßig, den Ursprung des Koordinatensystems zu verschieben oder die Achsen um den Ursprung zu drehen. Dies bzw. eine Kombination aus beiden Bewegungen wird als Koordinatentransformation bezeichnet.
Hierbei sollen folgende Voraussetzungen eingehalten werden:

  1. Die (Rechts-)Orientierung des Systems bleibt erhalten.
  2. Die Skalierung des Systems bleibt erhalten.

Kugelkoordinaten

Für geometrische Probleme, die sich auf der Oberfläche einer Kugel abspielen, erweist es sich als unzweckmäßig, mit kartesischen Koordinaten zu arbeiten. Hier wählt man statt der rechtwinkligen Koordinaten für den Punkt P ( x ;   y ;   z ) eine Form, die wir auch von der Geografie der Erde mit Längen- und Breitenkreisen kennen.
Hinzu kommt (als dritte Kugelkoordinate) der Abstand des Punktes P vom Ursprung, genannt Radius r.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025