Koordinatentransformationen

Parallelverschiebung eines Koordinatensystems

Als Erstes soll eine Parallelverschiebung (Translation) eines räumlichen Koordinatensystems betrachtet werden.

Parallelverschiebung eines (räumlichen) Koordinatensystems

Parallelverschiebung eines (räumlichen) Koordinatensystems

Der Ursprung des neuen Koordinatensystems sei O ' ( a ; b ; c ) . Zwischen den Koordinaten x, y und z eines Punktes P im gegebenen Koordinatensystem und seinen Koordinaten x ' , y ' , z ' im neuen System besteht dann der folgende Zusammenhang:
x ' = x a b z w . x = x ' + a y ' = y b y = y ' + b z ' = z c z = z ' + c

Im Folgenden soll ein Beispiel für die Ebene betrachtet werden.

  • Beispiel: Gegeben sei eine kubische Parabel durch y = f ( x ) = 1 10 x 3 3 10 x 2 3 5 x + 9 5 .
    Wie ändert sich deren Gleichung, wenn eine Verschiebung des Koordinatenursprungs in den Punkt O ' ( 1 ; 1 ) vorgenommen wird?

Mithilfe der Beziehungen x = x ' + 1 b z w . y = y ' + 1 ergibt sich:
     y ' = 1 10 ( x ' + 1 ) 3 3 10 ( x ' + 1 ) 2 3 5 ( x ' + 1 ) + 9 5 = 1 10 ( x ' ) 3 + 3 10 ( x ' ) 2 + 3 10 x ' + 1 10 3 10 ( x ' ) 2 6 10 x ' 3 10 3 5 x ' 3 5 + 9 5 = 1 10 ( x ' ) 3 9 10 x '

Aus dieser Darstellung kann z.B. die Punktsymmetrie des Graphen zum Ursprung O ' bzw. zum Punkt P ( 1 ; 1 ) im ursprünglichen Koordinatensystem sofort erkannt werden, da kein Absolutglied und kein Ausdruck mit geradzahligem Exponenten vorhanden ist.

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Drehung eines Koordinatensystems um den Koordinatenursprung

Im Folgenden wird die Drehung (Rotation) eines ebenen Koordinatensystems betrachtet. Wird der Ursprung des Koordinatensystems beibehalten, d.h. gilt O ' = O , und werden nur die Achsen um den Winkel ϕ gedreht, dann ergeben sich folgende Transformationsgleichungen:
x = x ' cos ϕ y ' sin ϕ b z w . x ' = x cos ϕ + y sin ϕ y = x ' sin ϕ + y ' cos ϕ y ' = x sin ϕ + y cos ϕ

Drehung eines ebenen Koordinatensystems

Drehung eines ebenen Koordinatensystems

  • Beispiel: Gegeben sei der Punkt P ( 3 ; 2 ) . Das Koordinatensystem wird um 30 ° im mathematisch positiven Drehsinn gedreht.

Die neuen Koordinaten ergeben sich wie folgt:
x ' = 3 cos 30 ° + 2 sin 30 ° 3,598
y ' = 3 sin 30 ° + 2 cos 30 ° 0,232

Analoge Überlegungen lassen sich für den dreidimensionalen Fall anstellen.

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Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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