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Koordinatentransformationen

Mitunter erweist es sich als zweckmäßig, den Ursprung des Koordinatensystems zu verschieben oder die Achsen um den Ursprung zu drehen. Dies bzw. eine Kombination aus beiden Bewegungen wird als Koordinatentransformation bezeichnet.
Hierbei sollen folgende Voraussetzungen eingehalten werden:

  1. Die (Rechts-)Orientierung des Systems bleibt erhalten.
  2. Die Skalierung des Systems bleibt erhalten.

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Parallelverschiebung eines Koordinatensystems

Als Erstes soll eine Parallelverschiebung (Translation) eines räumlichen Koordinatensystems betrachtet werden.

  • Parallelverschiebung eines (räumlichen) Koordinatensystems

Der Ursprung des neuen Koordinatensystems sei O ' ( a ;     b ;     c ) . Zwischen den Koordinaten x, y und z eines Punktes P im gegebenen Koordinatensystem und seinen Koordinaten x ' ,       y ' ,       z ' im neuen System besteht dann der folgende Zusammenhang:
  x ' = x − a     b z w .     x = x ' + a y ' = y − b y = y ' + b z ' = z − c z = z ' + c

Im Folgenden soll ein Beispiel für die Ebene betrachtet werden.

  • Beispiel: Gegeben sei eine kubische Parabel durch y = f ( x ) = 1 10 x 3 − 3 10 x 2 − 3 5 x + 9 5 .
    Wie ändert sich deren Gleichung, wenn eine Verschiebung des Koordinatenursprungs in den Punkt O ' ( 1 ;     1 ) vorgenommen wird?

Mithilfe der Beziehungen x = x ' + 1       b z w .       y = y ' + 1 ergibt sich:
       y ' = 1 10 ( x ' + 1 ) 3 − 3 10 ( x ' + 1 ) 2 − 3 5 ( x ' + 1 ) + 9 5 = 1 10 ( x ' ) 3 + 3 10 ( x ' ) 2 + 3 10 x ' + 1 10 − 3 10 ( x ' ) 2 − 6 10 x ' − 3 10 − 3 5 x ' − 3 5 + 9 5 = 1 10 ( x ' ) 3 − 9 10 x '

Aus dieser Darstellung kann z.B. die Punktsymmetrie des Graphen zum Ursprung O ' bzw. zum Punkt P ( 1 ;     1 ) im ursprünglichen Koordinatensystem sofort erkannt werden, da kein Absolutglied und kein Ausdruck mit geradzahligem Exponenten vorhanden ist.

Bild

Drehung eines Koordinatensystems um den Koordinatenursprung

Im Folgenden wird die Drehung (Rotation) eines ebenen Koordinatensystems betrachtet. Wird der Ursprung des Koordinatensystems beibehalten, d.h. gilt O ' = O , und werden nur die Achsen um den Winkel ϕ gedreht, dann ergeben sich folgende Transformationsgleichungen:
  x = x ' ⋅ cos ϕ − y ' ⋅ sin ϕ     b z w .     x ' = x ⋅ cos ϕ + y ⋅ sin ϕ y = x ' ⋅ sin ϕ + y ' ⋅ cos ϕ y ' = −   x ⋅ sin ϕ + y ⋅ cos ϕ

  • Drehung eines ebenen Koordinatensystems
  • Beispiel: Gegeben sei der Punkt P ( 3 ;     2 ) . Das Koordinatensystem wird um 30   ° im mathematisch positiven Drehsinn gedreht.

Die neuen Koordinaten ergeben sich wie folgt:
x ' = 3 ⋅ cos 30   ° + 2 ⋅ sin 30   ° ≈ 3,598
y ' = −   3 ⋅ sin 30   ° + 2 ⋅ cos 30   ° ≈ 0,232

Analoge Überlegungen lassen sich für den dreidimensionalen Fall anstellen.

Bild

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Koordinatentransformationen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/koordinatentransformationen (Abgerufen: 20. May 2025, 06:03 UTC)

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René Descartes

* 31. März 1596 La Haye bei Tours
† 11. Februar 1650 Stockholm

Der französische Philosoph RENÉ DESCARTES gilt als einer der Wegbereiter der Aufklärung in Europa. Auf mathematischem Gebiet arbeitete er vor allem zur analytischen Geometrie. So geht die heute gebräuchliche Form des (kartesischen) Koordinatensystems auf ihn zurück. Auch setzte er sich dafür ein, mathematische (deduktive) Methoden in der Philosophie anzuwenden.

Kugelkoordinaten

Für geometrische Probleme, die sich auf der Oberfläche einer Kugel abspielen, erweist es sich als unzweckmäßig, mit kartesischen Koordinaten zu arbeiten. Hier wählt man statt der rechtwinkligen Koordinaten für den Punkt P ( x ;   y ;   z ) eine Form, die wir auch von der Geografie der Erde mit Längen- und Breitenkreisen kennen.
Hinzu kommt (als dritte Kugelkoordinate) der Abstand des Punktes P vom Ursprung, genannt Radius r.

Polarkoordinatensystem

Ein Punkt der Ebene kann durch die Angabe von zwei Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem, einem geordneten Zahlenpaar [ x ;   y ] , eindeutig beschrieben werden.

Eine weitere Möglichkeit stellt die folgende Vorgehensweise dar:
Ein Ursprungspunkt O wird beliebig festgelegt. Von diesem ausgehend wird ein Strahl gezeichnet. Nun beschreiben der Abstand r des Punktes P von O und der Drehwinkel ϕ mit 0   ° ≤ ϕ < 360   ° , um den der Strahl aus seiner Ursprungslage bis zum Punkt P werden muss, die Lage des Punktes P eineindeutig.

Zylinderkoordinaten

Für geometrische Probleme, die sich auf der Oberfläche eines Zylinders abspielen, erweist es sich als unzweckmäßig, mit kartesischen Koordinaten zu arbeiten. Hierzu wählt man statt der rechtwinkligen Koordinaten für den Punkt P ( x ;   y ;   z ) eine andere Form, die sogenannten Zylinderkoordinaten.
Das entsprechende Koordinatensystem stellt eine Kombination des Polarkoordinatensystems der Ebene und des kartesischen Systems dar.

Affine Abbildungen

Eine punktweise Abbildung der Ebene auf sich, die Geraden in Geraden überführt, parallele Geraden in parallele Geraden überführt und teilverhältnistreu ist, heißt affine Abbildung oder Affinität.
Beispiele für Affinitäten sind die Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen.

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