Unterräume und Erzeugendensysteme

Durch Beschreibung der Vektoren des Anschauungsraumes mittels Koordinaten erhält man den Vektorraum V mit
$V=\left\{\overrightarrow{x}|\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right);a_i\in ℝ\right\}.$
In U werden die Ortsvektoren der Punkte einer Ebene $\epsilon$ durch den Ursprung O zusammengefasst, beispielsweise:
$U=\left\{\overrightarrow{x}|\overrightarrow{x}=r\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right),r,s\in ℝ\right\}=\left\{\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)|12x_1-4x_2+x_3=0\right\}$
Die Teilmenge U des Vektorraumes V ist bezüglich der Addition und der skalaren Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum.

Beziehen sich dagegen die Ortsvektoren auf Punkte einer Ebene, die nicht den Ursprung O enthält, wie in der Menge
$L=\left\{\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)|2x_1+x_2+x_3=4\right\}=\left\{\overrightarrow{x}|\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\end{array}\right);r,s\in ℝ\right\},$
so ist die Teilmenge L von V kein Vektorraum, da (und es gibt viele Begründungen dafür( z.B. $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)\in L$, aber $-\overrightarrow{x}\notin L$, was der Eigenschaft (4) der Vektorraumdefinition widerspricht.

• Definition: Eine Teilmenge U eines Vektorraumes V, die selbst bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V ein Vektorraum ist, heißt Unterraum U des Vektorraumes V.

Ist eine Teilmenge U eines Vektorraumes $\left(V,+,\cdot \right)$ selbst bezüglich $+und\cdot$ ein Vektorraum, so führen die Summenbildung und die skalare Vervielfachung nicht aus U hinaus und es existieren ein Nullelement und für jedes Element ein entgegengesetztes Element in U. Die restlichen Bedingungen der Vektorraumdefinition gelten auf ganz V und damit auch in U.

Daraus ergibt sich der folgende Satz:

• Satz (Unterraumkriterium): Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraumes V ist genau dann ein Unterraum von V, wenn für alle Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ aus U und für alle reellen Zahlen r gilt:
  $\begin{array}{l}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in U\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\in U\\ \overrightarrow{a}\in U;r\in ℝ\Rightarrow r\cdot \overrightarrow{a}\in U\end{array}$

Beweis:
Die Bedingungen sind notwendig. Sie sind auch hinreichend, da nach der vorbereitenden Bemerkung zum Satz für eine Teilmenge U mit den beiden Bedingungen nur noch (3) und (4) aus der Vektorraumdefinition nachzuweisen sind:
Im Vektorraum V ist $\overrightarrow{o}$ der Nullvektor: Er gehört auch zu U, da $0\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{o}$ ist, und folglich gilt (3) in U.
Wegen $-\overrightarrow{a}=\left(-1\right)\cdot \overrightarrow{a}$ ist mit $\overrightarrow{a}\in U$ stets $-\overrightarrow{a}\in U$, was (4) in U bestätigt.
w.z.b.w.

Beispiele von Unterräumen spezieller Vektorräume

(1) Für jede natürliche Zahl n ist der Vektorraum $P_n$ der Polynome höchstens n-ten Grades (definiert sind alle Polynome auf ganz $ℝ$) jeweils ein Unterraum des Funktionsraumes aller Funktionen mit Definitionsbereich $ℝ$.

(2) Im einleitend betrachteten Vektorraum V der Ortsvektoren des Anschauungsraum $\left(V={ℝ}^3\right)$ bilden Unterräume:

1. der Vektorraum, der nur aus dem Nullvektor $\overrightarrow{o}$ besteht;
2. alle Ortsvektoren, die Punkte einer festen Geraden g durch O beschreiben;
3. alle Ortsvektoren, die Punkte einer festen Ebene $\epsilon$ durch O beschreiben;
4. der ganze Vektorraum V.

Der einleitend angegebene Unterraum U von V wird durch alle Linearkombinationen der Vektoren
$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)und\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$
gebildet; die Koordinaten der Vektoren
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$ von U
genügen der Beziehung $12x_1-4x_2+x_3=0$.
Es ist $U_1$ mit
$U_1=\left\{\overrightarrow{x}|\overrightarrow{x}=t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 4\end{array}\right);t\in ℝ\right\}$
ein Unterraum von U und damit auch von V (vergleiche linke Figur in der folgenden Abbildung).
Der Unterraum $U_2$ von V mit
$U_2=\left\{\overrightarrow{x}|\overrightarrow{x}=t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right);t\in ℝ\right\}$
ist aber kein Unterraum von U (vergleiche rechte Figur in der folgenden Abbildung).

(3) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems mit n Variablen ist ein Unterraum des Vektorraumes ${ℝ}^n$ aller n-Tupel reeller Zahlen.

Linearkombinationen und Erzeugendensysteme

Gegeben seien ein Vektorraum V und die Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_m}\in V$.
Wir betrachten die Menge M aller Linearkombinationen dieser Vektoren, d.h. die Menge M mit
$M=\left\{\overrightarrow{x}|\overrightarrow{x}=r_1\overrightarrow{a_1}+r_2\overrightarrow{a_2}+\mathrm{...}+r_m\overrightarrow{a_m};r_i\in ℝ\right\}.$

Diese Menge hat bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V die folgenden Eigenschaften:
$\begin{array}{l}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\in M,falls\overrightarrow{a}\in Mund\overrightarrow{b}\in M\\ r\cdot \overrightarrow{a}\in M,\overrightarrow{a}\in Mundr\in ℝ\end{array}$
Das heißt, M ist ein Unterraum von V, und es gilt der folgende Satz:

• Satz: Sind $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...},\overrightarrow{a_m}$ Vektoren eines Vektorraumes V, so ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum, d.h. ein Unterraum von V.

Für so erzeugte Unterräume sind die in der folgenden Definition angegebenen Benennungen üblich:

• Definition: Der durch alle Linearkombinationen der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...},\overrightarrow{a_m}$ gebildete Unterraum U eines Vektorraumes heißt die lineare Hülle U der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...},\overrightarrow{a_m}$ (bzw. der von $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...},\overrightarrow{a_m}$ erzeugte Unterraum U bzw. der von $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...},\overrightarrow{a_m}$ aufgespannte Unterraum U).
  Die Menge $\left\{\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{a_2};\mathrm{...};\overrightarrow{a_m}\right\}$ wird ein Erzeugendensystem des Unterraumes U genannt.

Wir betrachten dazu das folgende Beispiel.

• Beispiel: Es sei $P_5$ der Vektorraum der Polynome höchstens 5. Grades, also
  $P_5=\left\{p|p\left(x\right)=a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0;a_i\in ℝ\right\}$
  Die Polynome $p_1,p_2,p_{3}und{p}_4$ mit
  $p_1\left(x\right)=x;p_2\left(x\right)=2x+x^5;p_3\left(x\right)=x^3;p_4\left(x\right)=x^5$
  gehören zu $P_5$.
  Bildet man die Menge M aller Linearkombinationen dieser vier Polynome und wählt dabei die variablen Koeffizienten passend zu den Exponenten von x, so kann M wie folgt notiert werden:
  $M=\left\{p\in P_5|p\left(x\right)=a_5{x}^5+a_3{x}^3+a_{1}x;a_1,a_2,a_3\in ℝ\right\}$
  Aus $q_1,q_2\in Mundr\in ℝ$ folgt $q_1+q_2\in Mundr\cdot q_1\in M$. Damit ist M nach dem Unterraumkriterium ein Unterraum von $P_5$, der durch $p_1,p_2,p_{3}und{p}_4$ aufgespannt wird.
  Man erkennt, dass schon die drei Polynome $p_1,p_{3}und{p}_4$ den Unterraum M aufspannen und dass $\left\{p_1;p_3;p_4\right\}$ ein minimales Erzeugendensystem des Unterraumes M ist.