Algebraische Gleichungen

In einer algebraischen Gleichung werden mit der Variablen nur algebraische Rechenoperationen vorgenommen, d. h., Variablen werden addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert bzw. potenziert oder radiziert.

Beispiele für algebraische Gleichungen sind etwa die folgenden:

• $x^7-6x^5+27x^2-7=0$
• $\sqrt{3x^2-5}=x-2$
• $\frac{2}{x}={\left(1-4x\right)}^2$

Zu den algebraischen Gleichungen zählen lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, aber auch Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen.

Jede algebraische Gleichung kann in der folgenden allgemeinen Form dargestellt werden:
$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$
Ist $a_n\ne 0$, so spricht man von einer algebraischen Gleichung n-ten Grades (der Grad der Gleichung wird also vom größten Exponenten n der Variablen x bestimmt). Der Summand $a_{1}x$ heißt lineares Glied, der Summand $a_0$ absolutes Glied der Gleichung.
Dividiert man die allgemeine Form durch $a_n(\text{mit }{a}_n\ne 0)$, so erhält man die Normalform der allgebraischen Gleichung:
$x^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+b_2{x}^2+b_{1}x+b_0=0$

Während es für quadratische, kubische Gleichungen und auch Gleichungen vierten Grades spezielle Lösungsformeln gibt, ist das für die allgemeine Gleichung n-ten Grades (mit n > 4) nicht der Fall. Es ist bewiesen, dass für derartige Gleichungen keine Lösungsformel existiert, die aus ineinandergeschachtelten Wurzeln mit natürlichem Exponenten (sogenannten Radikalen) besteht.
Mit dem interaktivem Rechenbeispiel können algebraische Gleichungen n-ten Grades gelöst werden.

Alle Gleichungen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendente Gleichungen. Hierzu zählen Exponentialgleichungen, Logarithmusgleichungen und trigonometrische (goniometrische) Gleichungen.
Derartige Gleichungen sind im Allgemeinen schwieriger aufzulösen als algebraische, sie „übersteigen“ (lat. transcendo) – wie es LEONHARD EULER (1707 bis 1783) formulierte – die Kräfte der Algebra.