Erwartungswert

Auch bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist es (wie bei Häufigkeitsverteilungen) sinnvoll, Mittelwerte zu betrachten. Ein solcher ist der Erwartungswert einer Zufallsgröße, der deren Verteilung durch einen mittleren Wert charakterisiert.

Gegeben sei eine Zufallsgröße X mit folgender Verteilung:
 

Wert x 1 x 2 ... x k
Wahrscheinlichkeit p 1 p 2 ... p k


Dann nennt man die Zahl
E ( X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x k p k
den Erwartungswert von X.
Der Erwartungswert muss (wie die folgenden Beispiele zeigen) unter den Werten der Zustandsgröße nicht vorkommen.

Beispiel 1:
Als Erwartungswert der Zufallsgröße Augenzahl A beim Werfen eines idealen Würfels ergibt sich:
E ( A ) = 1 1 6 + 2 1 6 + 3 1 6 + 4 1 6 + 5 1 6 + 6 1 6 = 21 1 6 = 3,5

Beispiel 2:
Es wird mit einem gezinkten Würfel gewürfelt. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl A gelte:
P ( 1 ) = 2 9 P ( 2 ) = P ( 3 ) = P ( 4 ) = P ( 5 ) = 1 6 P ( 6 ) = 1 9

Somit ergibt sich als Erwartungswert:
E ( A ) = 1 2 9 + 2 1 6 + 3 1 6 + 4 1 6 + 5 1 6 + 6 1 9 = 8 9 + 14 6 = 16 18 + 42 18 = 58 18 3,22

Mithilfe des Erwartungswertes lässt sich der Gewinn beim Losverkauf oder einer
Tombola bewerten.

 

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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