Erwartungswert

Auch bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist es (wie bei Häufigkeitsverteilungen) sinnvoll, Mittelwerte zu betrachten. Ein solcher ist der Erwartungswert einer Zufallsgröße, der deren Verteilung durch einen mittleren Wert charakterisiert.

Gegeben sei eine Zufallsgröße X mit folgender Verteilung:
 

Dann nennt man die Zahl
$E\left(X\right)=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\mathrm{...}+x_k\cdot p_k$
den Erwartungswert von X.
Der Erwartungswert muss (wie die folgenden Beispiele zeigen) unter den Werten der Zustandsgröße nicht vorkommen.

Beispiel 1:
Als Erwartungswert der Zufallsgröße Augenzahl A beim Werfen eines idealen Würfels ergibt sich:
$\begin{array}{l}E\left(A\right)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}\\ =21\cdot \frac{1}{6}=\mathrm{3,5}\end{array}$

Beispiel 2:
Es wird mit einem gezinkten Würfel gewürfelt. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl A gelte:
$\begin{array}{l}P\left(1\right)=\frac{2}{9}\\ P\left(2\right)=P\left(3\right)=P\left(4\right)=P\left(5\right)=\frac{1}{6}\\ P\left(6\right)=\frac{1}{9}\end{array}$

Somit ergibt sich als Erwartungswert:
$\begin{array}{l}E\left(A\right)=1\cdot \frac{2}{9}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{9}\\ =\frac{8}{9}+\frac{14}{6}=\frac{16}{18}+\frac{42}{18}=\frac{58}{18}\approx \mathrm{3,22}\end{array}$