Höhen im Dreieck

Die Lotstrecken von den Eckpunkten auf die jeweilige Gegenseite (bei stumpfwinkligen Dreiecken auf deren Verlängerungen) heißen Höhen und werden mit h bezeichnet (Bild 1).

Es gilt der folgende Satz:
In einem Dreieck schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H.

Beweis des Satzes:
Grundidee: Die Höhen sind, da sie senkrecht auf der jeweiligen Gegenseite stehen, parallel zu den Mittelsenkrechten, die sich in einem Punkt schneiden. Man sucht ein zweites Dreieck, in dem die Höhen des ersten die Mittelsenkrechten sind. Wenn das gelungen ist, ist die Aussage bewiesen.

1. Konstruiere um Dreieck ABC aus den Parallelen zu den drei Seiten durch die jeweils gegenüberliegenden Eckpunkte ein Dreieck DEF (Bild 2).
2. Es entstehen gemäß Kongruenzsatz wsw vier kongruente Dreiecke: ABC, BAD, ECB und CFA.
3. A, B und C sind Mittelpunkte von $\overline{FD}$, $\overline{DE}$und $\overline{EF}$.
   $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ und $\overline{AB}$ sind sogenannte Mittelparallelen im Dreieck DEF.
4. Die Mittelsenkrechten im Dreieck DEF verlaufen also durch A, B bzw. C und stehen auch senkrecht auf $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ bzw. $\overline{AB}$.
5. Die innerhalb vom Dreieck ABC verlaufenden Abschnitte dieser Mittelsenkrechten sind die Höhen im Dreieck ABC.
   (w. z. b. w.)

Dieser Beweis lässt sich auch bei stumpfwinkligen Dreiecken so führen. Dort liegt H außerhalb des Dreiecks (Bild 3).

Der Höhenschnittpunkt im rechtwinkligen Dreieck ist der Scheitel des rechten Winkels (Bild 4).