Indirekte Proportionalität

Bewegt sich ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit längs eines geradlinigen Weges von 9 km Länge, so hängt nach den Gesetzen der Physik die hierfür benötigt Zeit t von der Größe der Geschwindigkeit v ab (Bild 1).
Es gilt: $t=\frac{9}{v}$
(wobei hier v in km/min und t dann in Minuten gemessen sei)
Durch die Gleichung $t=\frac{9}{v}$ wird jedem Wert von $v\left(\ne 0\right)$ eindeutig ein Wert von t zugeordnet – es handelt sich bei diesem Zusammenhang also um eine Funktion t = f(v). Ihr Definitionsbereich ist das betrachtete Geschwindigkeitsintervall (z. B. [0,5; 6], gemessen in Kilometer je Minute), ihr Wertebereich die Menge der zugeordneten Zeiten (im Beispiel [1,5; 18], gemessen in Minuten).
 

Die betrachtete Funktion ist durch spezifische Merkmale gekennzeichnet:

1. Je größer die Geschwindigkeit ist, desto kleiner ist die benötigte Fahrtzeit: Verdoppelt (verdreifacht) sich die Geschwindigkeit, so verringert sich die Fahrzeit auf die Hälfte (auf ein Drittel).
2. Die Produkte aus den Geschwindigkeitswerten und den zugehörigen Zeiten sind gleich:
   $\mathrm{0,5}km/\min \cdot 18\min =\mathrm{1,5}km/\min \cdot 6\min =\mathrm{...}=9km$
3. Man kann alle Geschwindigkeitswerte ( in km/ min ) bestimmen, indem man den Quotienten aus 9 km und der jeweils benötigten Zeit (in min) berechnet.
   Oder:
   Man kann die für die Strecke von 9 km benötigte Zeit berechnen, indem man den Quotienten aus 9 km und der jeweiligen Geschwindigkeit ( in km/ min) berechnet.
4. In einem Koordinatensystem liegen alle Punkte, die den Wertepaaren aus einer Geschwindigkeitsgröße und der zugehörigen Zeit entsprechen, auf einer gekrümmten Linie (auf einem Hyperbelast).

Diese vier Eigenschaften sind jede für sich Ausdruck des spezifischen Merkmals der in dem obigen Beispiel beschriebenen Funktion: Es handelt sich hierbei um eine indirekte Proportionalität.

Eine Zuordnung heißt indirekte Proportionalität, wenn zwei veränderliche Größen x und y immer das gleiche Produkt k haben, wenn also gilt:
$y\cdot x=k,d.h.y=\text{‌}k\cdot \frac{1}{x}\left(x\ne 0\right)$
Man schreibt auch $y~\frac{1}{x}$ (gesprochen: y ist indirekt proportional zu x)

Anmerkung: Die indirekte Proportionalität wird auch umgekehrte Proportionalität oder Antiproportionalität genannt.

Verallgemeinert man die oben getroffenen Feststellungen, so lässt sich eine indirekte Proportionalität zweier Größen durch folgende – untereinander gleichwertige – Merkmale kennzeichnen:

1. Vergrößerungen (Verkleinerungen) der beiden Größen erfolgen jeweils im umgekehrten Verhältnis. Also: Wird die eine Größe verdoppelt (verdreifacht, halbiert ...), so halbiert (drittelt, verdoppelt ...) sich die andere Größe.
2. Alle Produkte einander zugeordneter Werte sind gleich (Produktgleichheit):
   $y\cdot x=k$
3. Wenn man den reziproken Werte der einen Größe mit ein und demselben Faktor multipliziert, so erhält man die jeweils zugeordneten Werte der anderen Größe. Für einander entsprechende Werte x und y gilt also:
   $y=k\cdot \frac{1}{x}\left(x\ne 0\right)bzw.x=k\cdot \frac{1}{y}\left(y\ne 0\right)$
4. Die den Wertepaaren (x; y) der beiden Größen entsprechenden Punkte mit den Koordinaten (x; y) liegen in einem Koordinatensystem auf einer gekrümmten Linie, einem Hyperbelast.