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Verhältnisgleichungen

Viele Probleme, bei denen mit drei gegebenen Größen eine vierte berechnet wird, führen auf Verhältnisgleichungen (Proportionen).
Eine Gleichung der Form
a b = c d     (   a ,b ,c ,d ≠ 0   )
heißt Verhältnisgleichung oder Proportion.
Dabei wird der Quotient zweier Größen als Verhältnis bezeichnet. Verhältnisgleichungen haben eine große Bedeutung bei der Prozentrechnung, bei den Strahlensätzen und bei linearen Funktionen der Form y = mx.

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Viele Probleme, bei denen mit drei gegebenen Größen eine vierte berechnet wird, führen auf Verhältnisgleichungen (Proportionen).
Eine Gleichung der Form
a b = c d     (   a ,b ,c ,d ≠ 0   )
heißt Verhältnisgleichung oder Proportion.
Dabei wird der Quotient zweier Größen als Verhältnis bezeichnet.

Beispiel:
Gegeben sind zwei Würfel mit der Kantenlänge 2 cm bzw. 3 cm (Bild 1).
Das Verhältnis der Kantenlängen beträgt 2 : 3.
Das Verhältnis der Volumina beträgt 8 : 27.

Werden mehr als zwei Verhältnisse betrachtet, so nennt man sie fortlaufende Proportion.

  • Würfel mit Kantenlänge 2 cm und 3 cm

Beispiel (Bild 2):
Sinussatz: a   :   b   :   c = sin α   :   sin β   :   sin γ   bzw .   a sin α = b sin β = c sin γ
Verhältnisgleichungen haben auch eine große Bedeutung bei der Prozentrechnung, bei den Strahlensätzen und bei linearen Funktionen der Form y = mx.

  • Beziehungen zwischen Seiten und Winkel am beliebigen Dreieck

Verhältnisgleichungen lassen sich mithilfe der Regeln für das äquivalente Umformen von Gleichungen lösen.

Beispiel:
Mithilfe eines sogenannten Försterdreiecks lässt sich die Höhe eines Baums bestimmen (Bild 3).
 

Gegeben:Gesucht:
Augenhöhe a = 1,70 mBaumhöhe x
Entfernung bis zum Baum e = 25 m
Länge des Messstabes c = 30 cm
Länge des Messstabes b = 20 cm
 

Lösung:
x – a e = b c     |   ⋅ e x − a = b   ⋅   e c   |   + a       x = b   ⋅   e c   +   a       x = 0 ,20   m   ⋅   25   m 0 ,30   m     +     1 ,70   m     x  ≈ 18   m 

Anwort: Der Baum hat eine Höhe von etwa 18 m.

  • Strahlensatzfigur

Eine Verhältnisgleichung lässt sich in den folgenden Formen schreiben:
a   :   b   = c   :   d   a b = c d       a   ⋅   d = b   ⋅   c
Die letzte Gleichung wird Produktgleichung genannt.

In jeder Verhältnisgleichung ist das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt der Außenglieder:
a ⋅ d = b ⋅ c

  • BWS-MAT1-0492-08.pdf (53.87 KB)

Es lassen sich beide Innenglieder, beide Außenglieder, Innen- gegen Außenglieder und beide Seiten einer Verhältnisgleichung vertauschen (Bild 4).
Aus der Verhältnisgleichung a b = c d     (   a ,b ,c ,d ≠ 0   ) erhält man durch korrespondierende Addition bzw. Subtraktion die folgenden gleichwertigen Verhältnisgleichungen:
a + b b = c + d d     a − b b = c − d d a b + a = c d + c     a b − a = c d − c

Beispiel:
Aus     x − a b − x = a x    ergibt   sich   b   :   x = x   :   a .
Löst man die Gleichung nach x auf, so erhält man:
x =   a ⋅ b
Diese Wurzel aus dem Produkt zweier Zahlen a und b wird auch als deren geometrisches Mittel bezeichnet.

  • BWS-MAT1-0492-09.pdf (65.9 KB)
  • Vertauschungen in Verhältnisgleichungen
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Verhältnisgleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/verhaeltnisgleichungen (Abgerufen: 20. May 2025, 12:03 UTC)

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