Verhältnisgleichungen

Viele Probleme, bei denen mit drei gegebenen Größen eine vierte berechnet wird, führen auf Verhältnisgleichungen (Proportionen).
Eine Gleichung der Form
a b = c d ( a ,b ,c ,d 0 )
heißt Verhältnisgleichung oder Proportion.
Dabei wird der Quotient zweier Größen als Verhältnis bezeichnet.

Beispiel:
Gegeben sind zwei Würfel mit der Kantenlänge 2 cm bzw. 3 cm (Bild 1).
Das Verhältnis der Kantenlängen beträgt 2 : 3.
Das Verhältnis der Volumina beträgt 8 : 27.

Werden mehr als zwei Verhältnisse betrachtet, so nennt man sie fortlaufende Proportion.

Würfel mit Kantenlänge 2 cm und 3 cm

Würfel mit Kantenlänge 2 cm und 3 cm

Beispiel (Bild 2):
Sinussatz: a : b : c = sin α : sin β : sin γ bzw . a sin α = b sin β = c sin γ
Verhältnisgleichungen haben auch eine große Bedeutung bei der Prozentrechnung, bei den Strahlensätzen und bei linearen Funktionen der Form y = mx.

Beziehungen zwischen Seiten und Winkel am beliebigen Dreieck

Beziehungen zwischen Seiten und Winkel am beliebigen Dreieck

Verhältnisgleichungen lassen sich mithilfe der Regeln für das äquivalente Umformen von Gleichungen lösen.

Beispiel:
Mithilfe eines sogenannten Försterdreiecks lässt sich die Höhe eines Baums bestimmen (Bild 3).
 

Gegeben:Gesucht:
Augenhöhe a = 1,70 mBaumhöhe x
Entfernung bis zum Baum e = 25 m
Länge des Messstabes c = 30 cm
Länge des Messstabes b = 20 cm
 

Lösung:
x a e = b c | e x a = b e c | + a x = b e c + a x = 0 ,20 m 25 m 0 ,30 m + 1 ,70 m 18

Anwort: Der Baum hat eine Höhe von etwa 18 m.

Strahlensatzfigur

Strahlensatzfigur

Eine Verhältnisgleichung lässt sich in den folgenden Formen schreiben:
a : b = c : d a b = c d a d = b c
Die letzte Gleichung wird Produktgleichung genannt.

In jeder Verhältnisgleichung ist das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt der Außenglieder:
a d = b c

Es lassen sich beide Innenglieder, beide Außenglieder, Innen- gegen Außenglieder und beide Seiten einer Verhältnisgleichung vertauschen (Bild 4).
Aus der Verhältnisgleichung a b = c d ( a ,b ,c ,d 0 ) erhält man durch korrespondierende Addition bzw. Subtraktion die folgenden gleichwertigen Verhältnisgleichungen:
a + b b = c + d d a b b = c d d a b + a = c d + c a b a = c d c

Beispiel:
Aus   x a b x = a x  ergibt sich b : x = x : a .
Löst man die Gleichung nach x auf, so erhält man:
x = a b
Diese Wurzel aus dem Produkt zweier Zahlen a und b wird auch als deren geometrisches Mittel bezeichnet.

Vertauschungen in Verhältnisgleichungen

Vertauschungen in Verhältnisgleichungen

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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