Länge

Länge einer Strecke

Sollen Dinge wie z. B. Nägel nach ihrer Länge verglichen werden, kann man sie dazu unmittelbar nebeneinanderlegen. So können Nägel nach ihrer Länge sortiert werden.
Ähnlich ist es möglich, auch Strecken zu vergleichen. Können zwei Strecken mit einer Bewegung aufeinander abgebildet werden, sind sie deckungsgleich. Alle zueinander deckungsgleichen Strecken haben eine gleiche Eigenschaft: Ihre Länge.
So können alle Strecken in Klassen eingeteilt werden. Zwei Strecken gehören dann und nur dann zur gleichen Klasse, wenn sie deckungsgleich sind. Die Länge ist das gemeinsame Merkmal aller Strecken einer Klasse.
Die Länge einer Strecke ist die Menge (Klasse) aller zu dieser Strecke deckungsgleichen Strecken.

Längenmessung

Beim Messen der Länge einer Strecke wird ermittelt, wie oft man eine Einheitsstrecke auf der zu messenden Strecke lückenlos hintereinander legen kann.
Der zu messenden Strecke wird dabei in Abhängigkeit von der gewählten Einheitsstrecke eine Maßzahl zugeordnet: Bei der Angabe einer Streckenlänge als Produkt aus Zahlenwert und Einheit wird deutlich: Je kleiner die gewählte Einheit ist, desto größer ist die Maßzahl.

Beispiel:
AB = 27 · m = 2700 · cm = 0,027 · km

Nicht immer ist die Maßzahl eine natürliche Zahl. Es ist auch möglich, mit Bruchteilen der Einheit zu messen. Die Maßzahl ist dann eine gebrochene Zahl. Maßzahlen können darüber hinaus auch positive irrationale Zahlen wie etwa $\sqrt{3}$ sein.

Beispiel:
Ist a die Länge der Seiten des Quadrates, dann ist nach dem Satz des Pythagoras die Länge der Diagonalen BD = a · $\sqrt{2}$, also ein irrationales Vielfaches von a. Selbst mit noch so kleinen Bruchteilen der Seite des Quadrates kann folglich die Diagonale nie ganz exakt ausgelegt werden.

Zwei Strecken heißen zueinander kommensurabel genau dann, wenn die Länge der einen Strecke ein rationales Vielfaches der Länge der anderen Strecke ist. Andernfalls sind die Strecken zueinander inkommensurabel.

Beispiel (Bild 2):
CD und BD sind zueinander inkommensurabel.
AB und BM sind zueinander inkommensurabel.
BM und BD sind zueinander kommensurabel.

Einheiten der Länge

Als Einheitsstrecke können verschiedene Strecken gewählt werden.

Beispiel:

1. Länge und Breite eines Zimmers werden abgeschritten, also in Schrittlängen gemessen.
2. Länge und Breite des Zimmers werden in Meter gemessen.

Im Beispiel 1 wird eine sogenannte willkürliche Einheit benutzt. Sie hat den Nachteil, dass der Messwert von der messenden Person abhängt.
Im Beispiel 2 wird eine normierte, gesetzlich festgelegte Einheit benutzt. Das Messergebnis ist dadurch unabhängig von der messenden Person.

Die willkürlichen, körpereigenen Maße, mit denen ursprünglich gemessen wurde, haben den Vorteil, immer zur Verfügung zu stehen. Wegen der Nachteile durch unterschiedliche individuelle Maße wurden die Einheiten zunächst regional, später national vereinheitlicht. In Deutschland wurde noch im 19. Jahrhundert mit den Einheiten Elle, Schritt, Fuß und Meile gemessen. Deren Länge war zwar mittlerweile vereinheitlicht, aber diese einheitliche Größe galt oft nur für einen der damaligen Kleinstaaten.

Das änderte sich erst nach dem 20.05.1875, als in Deutschland und 17 weiteren Ländern das Meter (1 m) eingeführt wurde. Es ist heute das gesetzliche Längenmaß.
Vom Meter abweichende Einheiten der Länge sind in den USA, in Großbritannien und in ehemaligen britischen Kolonien weit verbreitet:

in (inch, Zoll),
1 in $\approx$ 25,4 mm
ft (foot, Fuß),
1 foot = 12 inches, 1 ft $\approx$ 30,48 cm
yd (yard, Elle),
1 yard = 3 feet = 36 inches, 1 yd$\approx$ 91,44 cm
mile (englische Meile),
1 englische Landmeile $\approx$ 1609 m

Mit englischer Technik (etwa im Lokomotivbau) kamen im 19. Jahrhundert dort verbreitete Einheiten nach Kontinentaleuropa: ein 28er Fahrrad, ein 2-Zoll-Rohr ...