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Logische Operationen

Aus der Umgangssprache ist bekannt, dass einfache Sätze durch Bindewörter zu längeren Satzverbindungen zusammengesetzt werden können. So können Aussagen und Aussageformen verneint oder durch die Wörter „und“, „oder“, „entweder … oder“, „wenn …, dann (so) …“, „genau dann, wenn“ verknüpft werden.
Dabei entsteht eine neue Aussage oder Aussageform als Verbindung zweier anderer Aussagen oder Aussageformen.

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Aus der Umgangssprache ist bekannt, dass einfache Sätze durch Bindewörter zu längeren Satzverbindungen zusammengesetzt werden können. So können Aussagen und Aussageformen verneint oder durch die Wörter „und“, „oder“, „entweder … oder“,
„wenn …, so …“, „genau dann, wenn“ verknüpft werden.
Dabei entsteht eine neue Aussage oder Aussageform als Verbindung zweier anderer Aussagen oder Aussageformen.

UND-Verknüpfung (Konjunktion) zweier Aussagen A und B

Die Konjunktion „A und B“ ( A ∧ B ) ist genau dann wahr, wenn die Teilaussagen A und B zugleich wahr sind (Bild 1).

  • Konjunktion

ODER -Verknüpfung (Disjunktion) zweier Aussagen A und B

Die Disjunktion „A oder B“ ( A ∨ B ) ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A bzw. B wahr ist (Bild 2).

ENTWEDER- ODER - Verknüpfung (Alternative) zweier Aussagen A und B

Die Alternative „entweder A oder B“ ( A ∨ B ) ist genau dann wahr, wenn e ine der beiden Teilaussagen wahr und zugleich die andere falsch ist.
In dieser Weise wird das Wort „oder“ in der Umgangssprache benutzt.

  • Disjunktion

WENN-DANN-Verknüpfung (Implikation) zweier Aussagen A und B

Die Implikation „wenn A, dann B“ ( A ⇒ B ) ist genau dann falsch, wenn A (Voraussetzung oder auch Prämisse genannt) wahr und gleichzeitig B (Schlussfolgerung oder auch Konklusion genannt) falsch ist.
In allen anderen Fällen ist die Aussage „wenn A, dann B“ wahr (Bild 3).

  • Implikation

GENAU DANN-WENN-Verknüpfung (Äquivalenz) zweier Aussagen A und B

Die Äquivalenz „A genau dann, wenn B“ ( A ⇔ B ) ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben (Bild 4).

  • Äquivalenz

Verneinung (Negation) einer Aussage

Die Aussage A und ihre Negation „nicht A“ ( ¬   A ) haben entgegengesetzte Wahrheitswerte.
Entsprechend hat die Negation der Negation einer Aussage den gleichen Wahrheitswert wie die Aussage selbst (Bild 5).

Beispiel:
Aussage A: Es regnet.
Negation von A: Es regnet nicht.
Negation der Negation: Es stimmt nicht, dass es nicht regnet.

  • Negation

Wahrheitswerteverlauf zusammengesetzter Aussageformen

Wie Aussagen können auch Aussageformen verknüpft werden. Da Aussageformen freie Variablen enthalten, kann ihnen kein Wahrheitswert zugeordnet werden. Erst nach einer Variablenbelegung entstehen wahre oder falsche Aussagen.
Die nebenstehende Tabelle (Bild 6) zeigt den Wahrheitswerteverlauf zusammengesetzter Aussageformen je nach dem, ob die Aussageformen p und q zu wahren oder falschen Aussagen werden.

  • Wahrheitswerteverlauf zusammengesetzter Aussageformen
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Logische Operationen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/logische-operationen (Abgerufen: 20. May 2025, 15:23 UTC)

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Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano

* 5. Oktober 1781 Prag
† 18. Dezember 1848 Prag

Der böhmische Theologe BERNARD BOLZANO leistete wesentliche Beiträge zu Grundlagen der Analysis, insbesondere zum näherungsweisen Bestimmen von Nullstellen.
Er gilt zudem als ein Wegbereiter der modernen Logik und Mengenlehre.

Logische Operationen mit Aussagen

Aussagen können negiert oder durch aussagenlogische Operationen (Konjunktion, Disjunktion, Alternative, Implikation, Äquivalenz) miteinander verknüpft werden.
Der Wahrheitswert einer negierten oder zusammengesetzten Aussage hängt dabei ausschließlich vom Wahrheitswert der Ausgangsaussage bzw. der verknüpften Teilaussagen ab.

Giuseppe Peano

* 27. August 1858 Cuneo, Piemonte
† 20. April 1932 Turin

GIUSEPPE PEANO trug entscheidend zur Weiterentwicklung der mathematischen Logik und zur Herausarbeitung der axiomatischen Methode bei. Des Weiteren wirkte er auf die Symbolik der Mengenlehre.

Von PEANO stammt das (nach ihm benannte und noch heute verwendete) Axiomensystem zum Aufbau der natürlichen Zahlen.

Earl of Bertrand Arthur William Russell

* 18. Mai 1872 Ravenscroft Trellek, Monmouthshire, Wales
† 2. Februar 1970 Penrhyndeudraeth Merioneth, Wales

BERTRAND RUSSELL ist Mitbegründer der modernen mathematischen Logik. Im Jahre 1901 fand er die nach ihm benannte Antinomie der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
RUSSELL veröffentlichte zudem zahlreiche philosophische Schriften und Essays.

John Venn

* 4. August 1834 Hull, Humberside;
† 4. April 1923 Cambridge

JOHN VENN arbeitete vor allem auf dem Gebiet der mathematischen Logik. Bekannt wurde er als Schöpfer von Diagrammen zur mathematischen Logik bzw. Mengenlehre.
Mithilfe eines Systems sich überschneidender Kreise bzw. Ellipsen brachte er Beziehungen zwischen Klassen, Mengen bzw. Begriffen zum Ausdruck. Diese Darstellungen stellen eine Weiterentwicklung von Diagrammen dar, wie sie beispielweise schon bei LEONHARD EULER (eulersche Kreise) verwendet wurden.

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