Natürliche und dekadische Logarithmen

Logarithmen sind im 16. und 17. Jahrhundert von HENRY BRIGGS (1561 bis 1631) und JOHN NAPIER (1550 bis 1617) erfunden worden. Inhaltlich geht es um die Darstellung positiver Zahlen als Potenzen.

BRIGGS verwendete dabei als Basis die Zahl 10 (dekadische Logarithmen), NAPIER die Zahl e (natürliche Logarithmen). In technischen Berufen wird der dekadische Logarithmus vorgezogen, in der höheren Mathematik wird der natürliche Logarithmus benutzt. (In der höheren Mathematik ist der Logarithmus auch für negative und komplexe Zahlen erklärt.)
Jeder Taschenrechner ist mit beiden Logarithmensystemen ausgestattet.

Für den dekadischen Logarithmus einer Zahl x hat sich die Schreibweise $\lg x$ durchgesetzt, für den natürlichen Logarithmus einer Zahl x die Schreibweise $\ln x$.

Die Beziehung zwischen diesen Logarithmensystemen erkennt man folgendermaßen:
Eine positive Zahl z sei dargestellt durch
$z={10}^x=e^y$,
x und y sind der dekadische bzw. der natürliche Logarithmus von z.
Nun logarithmiert man die Gleichung mit Bezug auf den dekadischen Logarithmus. Es ist:
$\begin{array}{l}\lg z=\lg {10}^x=\lg e^y\\ \lg z=x\cdot \lg 10=y\cdot \lg e\end{array}$
bzw. (wegen $\lg 10=1$)
$\lg z=x=y\cdot \lg e$
Da $\lg e=\lg \mathrm{2,718}281\mathrm{...}=\mathrm{0,434}294\mathrm{...}$ ist, ergibt sich folgende einfache Beziehung zwischen natürlichem Logarithmus y und dekadischem Logarithmus x:
$x\approx \mathrm{0,434}29y$
Entsprechend gibt das Logarithmieren mit Bezug auf die Basis e:
$\begin{array}{l}\ln z=\ln {10}^x=\ln e^y\\ \ln z=x\cdot \ln 10=y\cdot \ln e\end{array}$
bzw. wegen $\ln e=1$
$\ln z=x\cdot \ln 10=y$
Da $\ln 10=\mathrm{2,302}585\mathrm{...}$ ist, ergibt sich als einfache Beziehung zwischen dekadischem Logarithmus x und natürlichem Logarithmus y:
$y\approx \mathrm{2,302}59x$
Insgesamt gilt (wegen $x=y\cdot \lg e$ und $x\cdot \ln 10=y$) also:
$\lg e=\frac{1}{\ln 10}\left(\approx \mathrm{0,434}294\mathrm{...}\right)$
Der Faktor 0,434294... wird gelegentlich Modul genannt.

Durch die Rechentechnik hat in den letzten Jahren auch die Basis 2 an Bedeutung gewonnen. Die Beziehung zu den dekadischen Logarithmen ergibt sich aus
$\begin{array}{l}z={10}^x=2^u\left(u=ldz\right)\\ \lg z=x=u\cdot \lg 2\end{array}$
wie folgt (wobei $ldx$ den Logarithmus x zur Basis 2 bezeichnet):
$u=\frac{x}{\lg 2}\approx \mathrm{3,32193}\cdot \lg z=ldz$