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Neunerprobe

Da für zwei kongruente Zahlen a 1 und a 2 mit a 1 ≡ r 1 mod b und a 2 ≡ r 2 mod b die Beziehung a 1 + a 2 ≡ r 1 + r 2 mod b gilt, ist der Neunerrest einer Summe gleich der Summe der Neunerreste der Summanden. Man braucht also nur die Reste mod 9 zu untersuchen.
Stimmen die Reste nicht überein, so ist die Rechnung mit Sicherheit falsch. Bei übereinstimmenden Resten ist die Richtigkeit des Resultates zwar nicht sicher, aber wahrscheinlich.
Die Neunerprobe kann auch bei der Subtraktion, Multiplikation und Division angewandt werden.

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Bei der Division durch 9 sind neun verschiedene Reste (0, 1, 2, ..., 8) möglich. Da für zwei kongruente Zahlen a 1 und a 2 mit a 1 ≡ r 1 mod b und a 2 ≡ r 2 mod b die Beziehung a 1 + a 2 ≡ r 1 + r 2 mod b gilt, ist der Neunerrest einer Summe gleich der Summe der Neunerreste der Summanden. Man braucht also nur die Reste mod 9 zu untersuchen.
Stimmen die Reste nicht überein, so ist die Rechnung mit Sicherheit falsch. Bei übereinstimmenden Resten ist die Richtigkeit des Resultates zwar nicht sicher, aber wahrscheinlich.

Die Neunerprobe kann auch bei der Subtraktion, Multiplikation und Division angewandt werden.

  • Aufgabe: 32 + 56 = 88
    Es gilt 32 ≡ 5, 56 ≡ 2 und 88 ≡ 7 mod 9.
    Da 5 + 2 = 7, ist die Bedingung erfüllt.
     
  • Aufgabe: 456 + 739 + 481 + 603
    Jemand gibt als Ergebnis 2179 an.
    Neunerprobe:
    456 ≡ 6, 739 ≡ 1, 481 ≡ 4, 603 ≡ 0 und 2179 ≡ 1 mod 9
    Es gilt nun aber 6 + 1 + 4 + 0 ≡ 2 und damit 2 nicht kongruent 1 mod 9.
    Das Ergebnis ist also falsch, richtig ist 2279.
     
  • Wenn jemand bei der obigen Aufgabe: 456 + 739 + 481 + 603 als Ergebnis den falschen Wert 2306 angibt (630 statt 603 addiert), ergibt sich folgende Neunerprobe:
    456 ≡ 6, 739 ≡ 1, 481 ≡ 4, 603 ≡ 0 und 2306 ≡ 2 mod 9
    Probe: 6 + 1 + 4 + 0 ≡ 2
    Obwohl das Ergebnis falsch ist, zeigt dies die Neunerpobe nicht an!

Zahlendreher (z. B. 630 statt 603) werden durch die Neunerprobe nicht erfasst, weil die Differenz der verdrehten Zahlen stets durch 9 teilbar ist.
Beweis:
In z = a n   10 n + ... + x   10 x   + ...   y   10 y + a 1   10 + a 0 werden die Ziffern x und y vertauscht.
Man erhält u = a n   10 n + ... + y   10 x   + ...   x   10 y + a 1   10 + a 0 .
Es gilt nun z ≡ a n   +   ...   + x   +   y + a 1 +   a 0 mod 9
und u ≡ a n   +   ...   + y   +   x + a 1 +   a 0 mod 9.
Daraus folgt z – u ≡ 0 mod 9, d. h., die Differenz der verdrehten Zahlen ist durch 9 teilbar. Wenn also bei Abstimmungen Differenzen auftauchen, die durch 9 teilbar sind, sollte man nach Zahlendrehern suchen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Neunerprobe." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/neunerprobe (Abgerufen: 20. May 2025, 12:21 UTC)

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Carl Friedrich Gauß

* 30. April 1777 Braunschweig
† 23. Februar 1855 Göttingen

Der oft als „Princeps mathematicorum“ (Fürst der Mathematik) bezeichnete CARL FRIEDRICH GAUSS erzielte bahnbrechende Leistungen in Mathematik, Physik, Astronomie und Geodäsie.
Auf mathematischem Gebiet beschäftigte er sich vor allem mit Probemen der Zahlentheorie und Algebra sowie mit Fragen der numerischen Mathematik. Durch neue Berechnungsmethoden schuf er die Grundlagen für eine exakte Bestimmung der Planetenbahnen.
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Muhammad ibn Musa Al-Chwarizmi

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI, persisch-arabischer Mathematiker
* um 780 Bagdad (heute in Irak)
† um 850

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI (auch AL-KHWARIZMI) war ein persisch-arabischer Mathematiker, der etwa von 780 bis 850 lebte und insbesondere am Hof des Kalifen AL-MANSUR in Bagdad wirkte.
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