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Quadrantenbeziehungen

Für Winkel x mit π 2 < x < 2   π lassen sich aufgrund der Definitionen der Sinus-, der Kosinus- und der Tangensfunktion Zusammenhänge zwischen den Werten dieser Funktionen aus dem I. und dem II. bis IV. Quadranten ableiten. Man nennt diese Zusammenhänge Quadrantenbeziehungen.

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Für Winkel x mit π 2 < x < 2   π lassen sich aufgrund der Definitionen der Sinus-, der Kosinus- und der Tangensfunktion Zusammenhänge zwischen den Werten dieser Funktionen aus dem I. und dem II. bis IV. Quadranten ableiten.
Wir betrachten dazu die im Bild 1 dargestellten Sachverhalte:
Wir bezeichnen in Fig. b den Winkel mit ∢  Q 2 OP 2 .
Dann ist x 1 = 180 ° − x (in Bogenmaß x 1 = π − x ).
Die Figuren a und b lassen dann vermuten, dass es zwischen den Sinuswerten von x und x 1 (im I. bzw. II. Quadranten) einen Zusammenhang gibt, dass nämlich sin ( π − x ) = sin   x gilt. Wir überprüfen diese Vermutung:
( 1 )   |   O P 1   → | = |   O P 2   → |       ( 2 )   ∢   P 1 O Q 1 = ∢   Q 2 O P 2 = x           ( 3 )   ∢     O Q 1 P 1 = ∢     P 2 Q 2 O = 90 °
Aus den Voraussetzungen
folgt nach dem Kongruenzsatz wsw
Δ   O Q 1 P 1 ≅ Δ   O P 2 Q 2   u n d   d a m i t   |   O P 1   → | = |   O P 2   → |   .

Wegen |   O P 1   → | = sin x   u n d   |   O P 2   → | = sin x 1 = sin   ( π − x ) ergibt sich daraus aber die vermutete Beziehung sin ( π − x ) = sin x .

In entsprechender Weise lassen sich unter Verwendung von Fig. b bis d die folgenden „Quadrantenbeziehungen“ ableiten:
cos   ( π − x ) = − cos x     sin   ( π + x ) = − sin x     sin   ( 2 π − x ) = − sin x tan   ( π − x ) = − tan x       cos   ( π + x ) = − cos x     cos   ( 2 π − x ) = cos x                     tan   ( π + x ) = tan x         tan   ( 2 π − x ) = − tan x

Zusammenfassung:
Unter Einbeziehung des Zusammenhangs 

tan x = 1 cot x erhalten wir:

Bild

  • Werte der Winkelfunktionen in unterschiedlichen Quadranten
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Quadrantenbeziehungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/quadrantenbeziehungen (Abgerufen: 20. May 2025, 12:34 UTC)

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