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Regelmäßige Vielecke

Alle regelmäßigen Vielecke (n-Ecke) besitzen gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel und sind damit konvex.
Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n – 2) · 180°.
Im regelmäßigen n-Eck ist diese Winkelsumme gleichmäßig auf alle n Innenwinkel des n-Ecks verteilt.

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Alle regelmäßigen Vielecke (n-Ecke) besitzen gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel und sind damit konvex.
Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n – 2) · 180°.
Im regelmäßigen n-Eck ist diese Winkelsumme gleichmäßig auf alle n Innenwinkel des n-Ecks verteilt.
Für die Größe jedes Innenwinkels in einem regelmäßigen n-Eck gilt:
( n − 2 ) ⋅ 180 ° n = 180 ° − 360 ° n

  • Regelmäßiges Sechseck

    Luisrftc - iStock by Getty Images

Jedem regelmäßigen n-Eck lassen sich ein Kreis einbeschreiben und ein Kreis umbeschreiben. Die Seiten des n-Ecks sind Sehnen des Inkreises und zugleich Tangenten des Umkreises (Bild 2).

Inkreis und Umkreis besitzen denselben Mittelpunkt. Dieser Mittelpunkt ist (als Umkreismittelpunkt) für ein gegebenes n-Eck konstruierbar:
Weil jede Seite des n-Ecks Sehne des Kreises ist, geht ihre Mittelsenkrechte durch den Mittelpunkt des Kreises.

  • In- und Umkreis

Verbindet man den Mittelpunkt des Umkreises mit jedem Eckpunkt, so wird das n-Eck in n gleichschenklige, zueinander kongruente Dreiecke zerlegt. Für die Winkel der Dreiecke gilt (Bild 3):
α = 360 ° n (der n-te Teil des Vollwinkels) und

β = 180 ° − α 2 = 90 ° − 180 ° n

Damit ist der Innenwinkel des n-Ecks 2 · β .
Für den Radius r des Inkreises gilt r ⋅ cos   α 2 = r ⋅ cos   180 ° n ,
wobei r der Radius des Umkreises ist.

Übersicht über regelmäßige n-Ecke

Bild

Hierbei ist r der Radius des Umkreises.

  • Winkel im regelmäßigen Vieleck
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Regelmäßige Vielecke." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/regelmaessige-vielecke (Abgerufen: 20. May 2025, 10:43 UTC)

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