Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik
  3. 7 Planimetrie
  4. 7.6 Dreiecke
  5. 7.6.8 Satzgruppe des PYTHAGORAS
  6. Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras

Die Satzgruppe des Pythagoras, voran der Satz des Pythagoras, zählt wegen ihrer großen Bedeutung für Berechnungen und Beweisführungen zu den berühmtesten der Planimetrie. Seine Endeckung wird meist PYTHAGORAS VON SAMOS (um 580 bis 500 v. Chr.) zugeschrieben, was in dieser Absolutheit sicher nicht richtig ist.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten:
a 2 + b 2 = c 2
Für diesen Satz sind mehr als 100 Beweise bekannt, von denen der kürzeste wohl der folgende Zerlegungsbeweis ist:
In der Druckversion von Bild 1 kann man sehen, dass sich die gesamte Quadratfläche ( a + b ) 2 aus dem Quadrat c 2 und den vier rechtwinkligen Dreiecken mit einer Fläche von 4 ⋅ 1 2 ⋅ a b = 2 ⋅ a b zusammensetzt, d. h., es ist:
( a + b ) 2 = c 2 + 2 ⋅ a b
Damit gilt a2 + 2 ·ab + b2 = c2 + 2 · ab,
woraus a2 + b2 = c2unmittelbar folgt.

  • Satz des Pythagoras

Ein weiterer Beweis erfolgt über die Ähnlichkeit von Dreiecken (Bild 2).
Da im rechtwinkligen Dreieck die durch die Höhe über der Hypotenuse gebildeten Teildreiecke untereinander und dem Gesamtdreieck ähnlich
sind, gilt:
q + p a = a p ,     a l s o     a 2 = p ( q + p ) bzw. q + p b = b p , also b 2 = q ( q + p )
So ergibt sich durch Addition der Beziehungen:
a 2 + b 2 = ( p + q ) ( q + p ) = c ⋅ c = c 2

Es gibt neben den geometrischen Beweisen auch eine Reihe von arithmetischen Beweisen, z. B. den folgenden, für den man den Flächeninhalt des Trapezes berechnen können muss.
Der Beweis erfolgt durch algebraische Umformungen.

Das rechtwinkelige Dreieck ABC (mit Katheten a, b und Hypotenuse c) ist das Grunddreieck. Nun legt man ein kongruentes (deckungsgleiches) Dreieck AED an das Grunddreieck. Verbindet man nun die Eckpunkte E und B, so entsteht ein Trapez DCBE mit den Parallelseiten a und b und der Höhe a + b. Das entstehende Dreieck ABE ist rechtwinklig und gleichschenklig.
Die Dreieck ABC und ADE sind flächeninhaltsgleich, den Flächeninhalt des Trapezes A kann man einerseits als Summe der Flächeninhalte der drei Dreiecke berechnen:
A = 2 ⋅ A 1 + A 2

Andererseits ist der Flächeninhalt des Trapezes A wie folgt zu berechnen:
Summe der Parallelseiten (= a + b) mal der Höhe (= a + b) dividiert durch 2. Folglich gilt:
A = 1 2 ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b )
Der Flächeninhalt A 1 errechnet sich aus Kathete (a) mal Kathete (b) dividiert durch 2. Der Flächeninhalt A 2 des Dreiecks errechnet sich aus Kathete (c) mal Kathete (c) dividiert durch 2.

Fasst man nun alle Erkenntnisse zusammen und betrachtet den Flächeninhalt des Trapezes als Summe der drei Dreiecke, so erhält man folgende Beziehung:
                             1 2 ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = 2 ⋅ 1 2 ⋅ a ⋅ b + 1 2 ⋅ c 2 ,
woraus man durch Umformungen
                              a 2 + 2 ⋅ a b + b 2 = c 2 + 2 ⋅ a b
und schließlich a 2 + b 2 = c 2 erhält.

In seinem 1940 erschienenen Buch „The Pythagorean Proposition“ hat der amerikanische Mathematiklehrer und Collegeprofessor ELISHA SCOTT LOOMIS ca. 370 Beweise zusammengetragen und klassifiziert.

Anwendungen des Satzes des Pythagoras

Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann man zu zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte berechnen. Dies findet bei vielen Berechnungen Anwendung:

  • Beweis über Ähnlichkeit

Abstand zweier Punkte in der Ebene und im Raum (Bild 3)

Um den Abstand zweier Punkte in der Ebene anzugeben, betrachte man ein kartesisches Koordinatensystem, indem die Punkte P 1 und P 2 die Koordinaten ( x 1 ; y 1 ) bzw. ( x 2 ; y 2 ) haben. In dem rechtwinkligen Dreieck, das aus den Parallelen durch die Punkte zu den Koordinatenachsen gebildet wird, ist der Abstand der Punkte gleich der Länge der Hypotenuse.
Mit dem Satz des Pythagoras erhält man:
P 1   P 2 = ( x 2 + x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2
Analog ergibt sich für den Abstand zweier Punkte im Raum:
P 1   P 2 = ( x 2 + x 1 ) 2 +     ( y 2 − y 1 ) 2 +     ( z 2 − z 1 ) 2

  • Abstand zweier Punkte in der Ebene

Länge der Raumdiagonale im Quader (Bild 4)

Die Länge der Raumdiagonale ergibt sich aus den Seitenlängen durch zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras:
A C 2 = a 2 + b 2 → A G 2 = A C 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 → A G = a 2 + b 2 + c 2

  • Länge der Raumdiagonale im Quader

Seitenlänge von regelmäßigen n-Ecken (Bild 5)

Aus der Seitenlänge eines regelmäßigen n-Ecks lässt sich die Seitenlänge des regelmäßigen 2n-Ecks bestimmen:
( s 2 n ) 2 = ( s n 2 ) 2 + ( r − p n ) 2 = ( s n 2 ) 2 + ( r − r 2 − ( s n 2 ) 2 ) 2                     = 2 r 2 − 2 r r 2 − ( s n 2 ) 2 s n = 2 r 2 − r 4 r 2 –     s n 2

Weiterhin findet der Satz auch bei der Berechnung der Höhe im gleichseitigen Dreieck oder der Raumhöhe in Tetraeder Anwendung.

Praktische Bedeutung hat auch die Umkehrung des Satzes des Pythagoras:
Gilt zwischen den Seiten a, b und c eines Dreiecks die Beziehung
a 2 + b 2 = c 2 , dann ist das Dreieck rechtwinklig und hat die Hypotenuse c.
Ganzzahlige Lösungen (a, b, c) der Gleichung a 2 + b 2 = c 2 nennt man auch pythagoreische Zahlen oder pythagoreische Zahlentripel. Die ersten pythagoreischen Zahlentripel (3; 4; 5) und (5; 12; 13) lassen sich durch Probieren finden.
Durch zentrische Streckung mit einem ganzzahligen Streckungsfaktor k entstehen zu den Ausgangsdreiecken ähnliche Dreiecke. Die Tripel (3k; 4k; 5k) bzw. (5k; 12k; 13k) der Seitenlängen dieser Dreiecke sind wieder pythagoreische Zahlentripel.

  • Seitenlängen von regelmäßigen n-Ecken

Verallgemeinerungen des Satzes des Pythagoras

Ähnliche Figuren über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Summe der Flächen der Halbkreise über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Fläche des Halbkreises über der Hypotenuse (Bild 6).
Beweis:
Aus a 2 + b 2 = c 2 folgt 1 2 π ⋅ a 2 + 1 2 π ⋅ b 2 = 1 2 π ⋅ c 2 durch Multiplikation der Gleichung mit 1 2 π , was jeweils die Fläche des Halbkreises beschreibt.

  • Ähnliche Figuren über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Summe der Flächen zueinander ähnlicher Dreiecke über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Fläche des zu diesen ähnlichen Dreiecks über der Hypotenuse (Bild 7).
Beweis (nach der Methode des Rückwärtsarbeitens):
Es soll gelten:
A Δ a + A Δ b = A Δ c   ,   d .     h .         1 2 a ⋅ h a + 1 2 b ⋅ h b = 1 2 c ⋅ h c  oder 1 2 a ⋅ d 1 ⋅ sin δ + 1 2 b ⋅ d 2 ⋅ sin δ = 1 2 c ⋅ d 3 ⋅ sin δ       oder a ⋅ d 1 + b ⋅ d 2 = c ⋅ d 3   (*)
Es gilt:
a : d 1 = b : d 2 = c : d 3 = k
oder
d 1 = k a ,   d 2 = k b ,   d 3 = k c ,
da die Dreiecke ähnlich sind. Nach Einsetzen in (*) folgt:
a 2 + b 2 = c 2

Diese Beziehung lässt sich für beliebige zueinander ähnlich Figuren folgern:
Sind F a ,     F b ,     F c zueinander ähnlicher Figuren über den Seiten a, b und c eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypotenuse, so gilt für ihre Flächeninhalte:
A F a + A F b = A F c

  • Beweis nach der Methode des Rückwärtsarbeitens
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Satz des Pythagoras." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/satz-des-pythagoras (Abgerufen: 20. May 2025, 17:52 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Dreieck
  • interaktiv
  • rechtwinklig
  • rechtwinkliges Dreieck
  • Java-Applet
  • Mathcad
  • pythagoreische Zahlentripel
  • Kathete
  • Berechnungsbeispiel
  • Beweis
  • pythagoreische Zahlen
  • Hypotenuse
  • Rechenbeispiel
  • Pythagoras
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Aristoteles von Stagira

* 384 v.Chr. Stageira (Makedonien)
† 322 v.Chr. Chalkis (auf Euböa)

ARISTOTELES gilt als einer der einflussreichsten Geisteswissenschaftler des alten Griechenlandes.
Er begründete bzw. beeinflusste maßgeblich zahlreiche naturwissenschaftliche Disziplinen sowie die Philosophie.

Höhensatz

Die Satzgruppe des Pythagoras, zu der der Höhensatz gehört, zählt wegen ihrer großen Bedeutung für Berechnungen und Beweisführungen zu den berühmtesten der Planimetrie.

Pythagoras

PYTHAGORAS VON SAMOS (etwa 580 bis etwa 500 v. Chr.), griechischer Philosoph und Mathematiker

PYTHAGORAS vertrat als Philosoph die mystische Lehre von der Zahl als Urprinzip aller Dinge und von der harmonischen Ordnung als höchstes kosmologisches Gesetz. Seine Lehren sind schwer zu trennen von den Auffassungen des Geheimbundes der Pythagoreer.
Der Satz des Pythagoras kann wohl als bekanntester Satz der (Schul-)Mathematik bezeichnet werden.

Satz des Euklid

Die Satzgruppe des Pythagoras, zu der der Satz des Euklid (Kathetensatz) gehört, zählt wegen ihrer großen Bedeutung für Berechnungen und Beweisführungen zu den berühmtesten der Planimetrie.

Pythagoreer

Der Grund, der PYTHAGORAS dazu bewogen haben könnte seine griechische Heimat zu verlassen, ist schwer nachzuvollziehen. Fest steht, dass er als Vierzigjähriger (um 530 v. Chr.) nach Unteritalien in den antiken Ort Kroton, dem heutigen Crotone in Kalabrien, übersiedelte. Dort unterrichte er anfangs die Jugend in griechischer Weisheit. Er benutzte seine Lehrtätigkeit aber vor allem dazu, sich eine Anhängerschaft heranzuziehen, was schließlich in der Gründung einer „Schule“ mündete.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025