Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten:
$a^2+b^2=c^2$
Für diesen Satz sind mehr als 100 Beweise bekannt, von denen der kürzeste wohl der folgende Zerlegungsbeweis ist:
In der Druckversion von Bild 1 kann man sehen, dass sich die gesamte Quadratfläche ${\left(a+b\right)}^2$ aus dem Quadrat $c^2$ und den vier rechtwinkligen Dreiecken mit einer Fläche von $4\cdot \frac{1}{2}\cdot ab=2\cdot ab$zusammensetzt, d. h., es ist:
${\left(a+b\right)}^2=c^2+2\cdot ab$
Damit gilt a2 + 2 ·ab + b2 = c2 + 2 · ab,
woraus a2 + b2 = c2unmittelbar folgt.

Abstand zweier Punkte in der Ebene und im Raum (Bild 3)

Um den Abstand zweier Punkte in der Ebene anzugeben, betrachte man ein kartesisches Koordinatensystem, indem die Punkte $P_1$ und $P_2$ die Koordinaten $\left(x_1{\text{; y}}_{\text{1}}\right)$ bzw. $\left(x_2{\text{; y}}_{\text{2}}\right)$ haben. In dem rechtwinkligen Dreieck, das aus den Parallelen durch die Punkte zu den Koordinatenachsen gebildet wird, ist der Abstand der Punkte gleich der Länge der Hypotenuse.
Mit dem Satz des Pythagoras erhält man:
$P_1{P}_2=\sqrt{{\left(x_2+x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$
Analog ergibt sich für den Abstand zweier Punkte im Raum:
$P_1{P}_2=\sqrt{{\left(x_2+x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}$

Seitenlänge von regelmäßigen n-Ecken (Bild 5)

Aus der Seitenlänge eines regelmäßigen n-Ecks lässt sich die Seitenlänge des regelmäßigen 2n-Ecks bestimmen:
$\begin{array}{l}{\left(s_{2n}\right)}^2={\left(\frac{s_n}{2}\right)}^2+{\left(r-p_n\right)}^2={\left(\frac{s_n}{2}\right)}^2+{\left(r-\sqrt{r^2-{\left(\frac{s_n}{2}\right)}^2}\right)}^2\\ =2r^2-2r\sqrt{r^2-{\left(\frac{s_n}{2}\right)}^2}\\ s_n=\sqrt{2r^2-r\sqrt{4r^2–s_n{}^2}}\end{array}$

Weiterhin findet der Satz auch bei der Berechnung der Höhe im gleichseitigen Dreieck oder der Raumhöhe in Tetraeder Anwendung.

Praktische Bedeutung hat auch die Umkehrung des Satzes des Pythagoras:
Gilt zwischen den Seiten a, b und c eines Dreiecks die Beziehung
$a^2+b^2=c^2$, dann ist das Dreieck rechtwinklig und hat die Hypotenuse c.
Ganzzahlige Lösungen (a, b, c) der Gleichung $a^2+b^2=c^2$ nennt man auch pythagoreische Zahlen oder pythagoreische Zahlentripel. Die ersten pythagoreischen Zahlentripel (3; 4; 5) und (5; 12; 13) lassen sich durch Probieren finden.
Durch zentrische Streckung mit einem ganzzahligen Streckungsfaktor k entstehen zu den Ausgangsdreiecken ähnliche Dreiecke. Die Tripel (3k; 4k; 5k) bzw. (5k; 12k; 13k) der Seitenlängen dieser Dreiecke sind wieder pythagoreische Zahlentripel.

Die Summe der Flächen zueinander ähnlicher Dreiecke über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Fläche des zu diesen ähnlichen Dreiecks über der Hypotenuse (Bild 7).
Beweis (nach der Methode des Rückwärtsarbeitens):
Es soll gelten:
$\begin{array}{l}{A}_{\Delta a}+A_{\Delta b}=A_{\Delta c},d.h.\frac{1}{2}a\cdot h_a+\frac{1}{2}b\cdot h_b=\frac{1}{2}c\cdot h_c\text{ oder}\\ \frac{1}{2}a\cdot d_1\cdot \sin \delta +\frac{1}{2}b\cdot d_2\cdot \sin \delta =\frac{1}{2}c\cdot d_3\cdot \sin \delta \text{oder}\\ \text{a}\cdot {\text{d}}_{\text{1}}+b\cdot d_2=c\cdot d_3\text{(*)}\end{array}$
Es gilt:
a : $d_1$= b : $d_2$= c : $d_3$= k
oder
$d_1=k_a,d_2=k_b,d_3=k_c$,
da die Dreiecke ähnlich sind. Nach Einsetzen in (*) folgt:
$a^2+b^2=c^2$

Diese Beziehung lässt sich für beliebige zueinander ähnlich Figuren folgern:
Sind $F_a,F_b,F_c$ zueinander ähnlicher Figuren über den Seiten a, b und c eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypotenuse, so gilt für ihre Flächeninhalte:
$A_{Fa}+A_{Fb}=A_{Fc}$