Winkelfunktionen, y = a sin (bx + c)

Besonders bei der mathematischen Beschreibung von Schwingungsvorgängen wird häufig von Winkelfunktionen, speziell der Sinusfunktion mit Gleichungen der Form $y=f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(bx+c\right)$ Gebrauch gemacht. Daraus resultieren auch Übereinstimmungen in den Bezeichnungen, auf die nachfolgend zurückgekommen wird.

Ausgehend von der Funktion $y=f\left(x\right)=\sin x$ und ihrem Graphen sollen zunächst die Eigenschaften von Funktionen mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(bx+c\right)$ für verschiedene Werte der darin auftretenden Parameter untersucht werden.

(1) Mit b = 1, c = 0 und $a\ne 0$ erhält man aus $y=f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(bx+c\right)$ die Gleichung y = $f{}_1$ (x) = a sin x.
Für a = – 1, a = 0,5, a = 1 und a = 3 sind die Graphen der Funktionen im Bild 1 dargestellt.

Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:

• Die Funktionen sind periodisch mit der gemeinsamen Periode $2\pi$.
• Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von $y=f\left(x\right)=\sin x$ die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, besitzt die Ordinate dieser Punkte für die Funktionen $f{}_1$(x) = a sin x den Werte a bzw. – a.
• Falls a > 1, geht der Graph von $f{}_1$ durch Streckung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
• Falls 0 < a < 1, geht der Graph von $f{}_1$ durch Stauchung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
• Falls a < 0, geht der Graph von $f{}_1$ durch Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
• Die Funktionen y = $f{}_1$(x) = a sin x haben die gemeinsamen Nullstellen $x=\text{k}\cdot \pi \left(\text{k}\in \mathbb{Z}\right)$.

In der Funktion f mit y = f(x) = a · sin x heißt a $\left(a\ne 0\right)$ die Amplitude der Sinuskurve; a gibt den maximalen, – a den minimalen Ordinatenwert an.

(2) Mit a = 1, c = 0 und $\text{b}\ne \text{0}$ erhält man aus $y=f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(bx+c\right)$ die Gleichung y = $f{}_2$ (x) = sin bx.
Für b = – 1, b = 0,5, b = 1 und b = 2 sind die Graphen der Funktionen im Bild 2 dargestellt.

Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:

• Da die Funktion $y=f\left(x\right)=\sin x$ an den Stellen $\text{k}\cdot \pi \left(\text{k}\in \mathbb{Z}\right)$ Nullstellen besitzt, dort also den Wert 0 annimmt, trifft dies für die Funktion $f{}_2$(x) = sin bx dann zu, wenn $\text{b}\cdot \text{x}=\text{k}\cdot \pi \text{,}\text{also}\text{x}=\frac{\pi }{\text{b}}\cdot \text{k}\left(\text{k}\in \mathbb{Z}\right)$.
• Die Funktionen y = $f{}_2$(x) = sin bx sind periodisch, besitzen jedoch die von b abhängige unterschiedliche Periodenlänge $\frac{2\pi }{\left|\text{b}\right|}$.
• Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von y = sin x die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, gilt dies auch für alle Graphen von
  y = $f{}_2$(x) = sin bx.
• Falls b > 1, geht der Graph von $f{}_2$ durch Stauchung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
• Falls 0 < b < 1, geht der Graph von $f{}_2$ durch Streckung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
• Falls b < 0, geht der Graph von $f{}_2$ wegen $\sin \left(-x\right)=-\sin x$ durch Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.

In der Funktion f mit y = f(x) = sin bx heißt b $\left(b\ne 0\right)$ die Frequenz der Sinuskurve. Die Frequenz gibt die Anzahl der vollständigen Perioden in einem Intervall der Länge $2\pi$ an.

(3) Mit a = 1, b = 1 und c $\ne$ 0 erhält man aus $y=f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(bx+c\right)$ die Gleichung y = $f{}_3$(x) = sin(x + c).
Für $\text{c}=-\frac{\pi }{3}\text{,}\text{c}=\text{0}\text{und}\text{c}=\frac{\pi }{3}$ sind die Graphen der Funktionen im Bild 3 dargestellt.

Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:

• Da die Funktion $y=f\left(x\right)=\sin x$ an den Stellen $\text{k}\cdot \pi \left(\text{k}\in \mathbb{Z}\right)$Nullstellen besitzt, dort also den Wert 0 annimmt, trifft dies für die Funktion $f{}_3$(x) = sin (x + c) dann zu , wenn $x+c=k\cdot \pi ,alsox=k\cdot \pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$
• Die Funktionen y = $f{}_3$(x) = sin (x + c) sind periodisch mit der gemeinsamen Periode $2\pi$.
• Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von $y=f\left(x\right)=\sin x$ die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, gilt dies auch für alle Graphen von y = $f{}_3$(x) = sin (x + c).
• Falls c > 0, geht der Graph von $f{}_3$ durch Verschiebung nach links in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
• Falls c = 0, stimmen die Funktionsgleichungen von f und $f{}_3$ und folglich auch ihre Graphen überein.
• Falls c < 0, geht der Graph von $f{}_3$ durch Verschiebung nach rechts in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.

In der Funktion f mit y = f(x) = sin (x + c) heißt c die Phasenverschiebung der Sinuskurve.

(4) Mit $\text{a}\ne \text{1}\text{,}\text{b}\ne \text{1}\text{und}\text{c}\ne \text{0}$ erhalten wir die Funktionen $y=f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(bx+c\right)$, in denen die in (1) bis (3) beschriebenen Eigenschaften miteinander verknüpft sind.
Für a = 2, b = 2 und $c=\frac{\pi }{2}$ sowie a = 1,5; b = 0,75 und $c=\frac{3\pi }{2}$
sind die Graphen der Funktionen $f{}_1$ bzw. $f{}_2$ sowie $y=f\left(x\right)=\sin x$ im Bild 4 dargestellt.

Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar bzw. mithilfe von (1) bis (3) berechenbar: