Besonders bei der mathematischen Beschreibung von Schwingungsvorgängen wird häufig von Winkelfunktionen, speziell der Sinusfunktion mit Gleichungen der Form Gebrauch gemacht. Daraus resultieren auch Übereinstimmungen in den Bezeichnungen, auf die nachfolgend zurückgekommen wird.
Ausgehend von der Funktion und ihrem Graphen sollen zunächst die Eigenschaften von Funktionen mit der Gleichung für verschiedene Werte der darin auftretenden Parameter untersucht werden.
(1) Mit b = 1, c = 0 und erhält man aus die Gleichung y = (x) = a sin x.
Für a = – 1, a = 0,5, a = 1 und a = 3 sind die Graphen der Funktionen im Bild 1 dargestellt.
Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:
- Die Funktionen sind periodisch mit der gemeinsamen Periode .
- Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, besitzt die Ordinate dieser Punkte für die Funktionen (x) = a sin x den Werte a bzw. – a.
- Falls a > 1, geht der Graph von durch Streckung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Falls 0 < a < 1, geht der Graph von durch Stauchung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Falls a < 0, geht der Graph von durch Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Die Funktionen y = (x) = a sin x haben die gemeinsamen Nullstellen .
In der Funktion f mit y = f(x) = a · sin x heißt a die Amplitude der Sinuskurve; a gibt den maximalen, – a den minimalen Ordinatenwert an.
(2) Mit a = 1, c = 0 und erhält man aus die Gleichung y = (x) = sin bx.
Für b = – 1, b = 0,5, b = 1 und b = 2 sind die Graphen der Funktionen im Bild 2 dargestellt.
Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:
- Da die Funktion an den Stellen Nullstellen besitzt, dort also den Wert 0 annimmt, trifft dies für die Funktion (x) = sin bx dann zu, wenn .
- Die Funktionen y = (x) = sin bx sind periodisch, besitzen jedoch die von b abhängige unterschiedliche Periodenlänge .
- Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von y = sin x die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, gilt dies auch für alle Graphen von
y = (x) = sin bx. - Falls b > 1, geht der Graph von durch Stauchung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Falls 0 < b < 1, geht der Graph von durch Streckung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Falls b < 0, geht der Graph von wegen durch Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
In der Funktion f mit y = f(x) = sin bx heißt b die Frequenz der Sinuskurve. Die Frequenz gibt die Anzahl der vollständigen Perioden in einem Intervall der Länge an.
(3) Mit a = 1, b = 1 und c 0 erhält man aus die Gleichung y = (x) = sin(x + c).
Für sind die Graphen der Funktionen im Bild 3 dargestellt.
Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:
- Da die Funktion an den Stellen Nullstellen besitzt, dort also den Wert 0 annimmt, trifft dies für die Funktion (x) = sin (x + c) dann zu , wenn
- Die Funktionen y = (x) = sin (x + c) sind periodisch mit der gemeinsamen Periode .
- Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, gilt dies auch für alle Graphen von y = (x) = sin (x + c).
- Falls c > 0, geht der Graph von durch Verschiebung nach links in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Falls c = 0, stimmen die Funktionsgleichungen von f und und folglich auch ihre Graphen überein.
- Falls c < 0, geht der Graph von durch Verschiebung nach rechts in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
In der Funktion f mit y = f(x) = sin (x + c) heißt c die Phasenverschiebung der Sinuskurve.
(4) Mit erhalten wir die Funktionen , in denen die in (1) bis (3) beschriebenen Eigenschaften miteinander verknüpft sind.
Für a = 2, b = 2 und sowie a = 1,5; b = 0,75 und
sind die Graphen der Funktionen bzw. sowie im Bild 4 dargestellt.
Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar bzw. mithilfe von (1) bis (3) berechenbar:
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Stand: 2010
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