Winkelfunktionen, y = a sin (bx + c)

Besonders bei der mathematischen Beschreibung von Schwingungsvorgängen wird häufig von Winkelfunktionen, speziell der Sinusfunktion mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = a sin ( b x + c ) Gebrauch gemacht. Daraus resultieren auch Übereinstimmungen in den Bezeichnungen, auf die nachfolgend zurückgekommen wird.

Ausgehend von der Funktion y = f ( x ) = sin x und ihrem Graphen sollen zunächst die Eigenschaften von Funktionen mit der Gleichung y = f ( x ) = a sin ( b x + c ) für verschiedene Werte der darin auftretenden Parameter untersucht werden.

(1) Mit b = 1, c = 0 und a 0 erhält man aus y = f ( x ) = a sin ( b x + c ) die Gleichung y = f 1 (x) = a sin x.
Für a = – 1, a = 0,5, a = 1 und a = 3 sind die Graphen der Funktionen im Bild 1 dargestellt.

Graphen der Funktionen mit y = a sin x

Graphen der Funktionen mit y = a sin x

Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:

  • Die Funktionen sind periodisch mit der gemeinsamen Periode 2 π .
  • Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von y = f ( x ) = sin x die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, besitzt die Ordinate dieser Punkte für die Funktionen f 1 (x) = a sin x den Werte a bzw. – a.
  • Falls a > 1, geht der Graph von f 1 durch Streckung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
  • Falls 0 < a < 1, geht der Graph von f 1 durch Stauchung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
  • Falls a < 0, geht der Graph von f 1 durch Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
  • Die Funktionen y = f 1 (x) = a sin x haben die gemeinsamen Nullstellen x = k π ( k ) .

In der Funktion f mit y = f(x) = a · sin x heißt a ( a 0 ) die Amplitude der Sinuskurve; a gibt den maximalen, – a den minimalen Ordinatenwert an.

(2) Mit a = 1, c = 0 und b 0 erhält man aus y = f ( x ) = a sin ( b x + c ) die Gleichung y = f 2 (x) = sin bx.
Für b = – 1, b = 0,5, b = 1 und b = 2 sind die Graphen der Funktionen im Bild 2 dargestellt.

Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:

  • Da die Funktion y = f ( x ) = sin x an den Stellen k π ( k ) Nullstellen besitzt, dort also den Wert 0 annimmt, trifft dies für die Funktion f 2 (x) = sin bx dann zu, wenn b x = k π , also x = π b k ( k ) .
  • Die Funktionen y = f 2 (x) = sin bx sind periodisch, besitzen jedoch die von b abhängige unterschiedliche Periodenlänge 2 π | b | .
  • Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von y = sin x die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, gilt dies auch für alle Graphen von
    y = f 2 (x) = sin bx.
  • Falls b > 1, geht der Graph von f 2 durch Stauchung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
  • Falls 0 < b < 1, geht der Graph von f 2 durch Streckung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
  • Falls b < 0, geht der Graph von f 2 wegen sin ( x ) = sin x durch Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.

In der Funktion f mit y = f(x) = sin bx heißt b ( b 0 ) die Frequenz der Sinuskurve. Die Frequenz gibt die Anzahl der vollständigen Perioden in einem Intervall der Länge 2 π an.

Graphen der Funktionen mit y = sin bx

Graphen der Funktionen mit y = sin bx

(3) Mit a = 1, b = 1 und c 0 erhält man aus y = f ( x ) = a sin ( b x + c ) die Gleichung y = f 3 (x) = sin(x + c).
Für c = π 3 , c = 0 und c = π 3 sind die Graphen der Funktionen im Bild 3 dargestellt.

Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:

  • Da die Funktion y = f ( x ) = sin x an den Stellen k π ( k ) Nullstellen besitzt, dort also den Wert 0 annimmt, trifft dies für die Funktion f 3 (x) = sin (x + c) dann zu , wenn x + c = k π , a l s o x = k π ( k ) .
  • Die Funktionen y = f 3 (x) = sin (x + c) sind periodisch mit der gemeinsamen Periode 2 π .
  • Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von y = f ( x ) = sin x die Ordinate 1 bzw. – 1 hat, gilt dies auch für alle Graphen von y = f 3 (x) = sin (x + c).
  • Falls c > 0, geht der Graph von f 3 durch Verschiebung nach links in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
  • Falls c = 0, stimmen die Funktionsgleichungen von f und f 3 und folglich auch ihre Graphen überein.
  • Falls c < 0, geht der Graph von f 3 durch Verschiebung nach rechts in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.

In der Funktion f mit y = f(x) = sin (x + c) heißt c die Phasenverschiebung der Sinuskurve.

Graphen der Funktionen mit y = sin (x + c)

Graphen der Funktionen mit y = sin (x + c)

(4) Mit a 1 , b 1 und c 0 erhalten wir die Funktionen y = f ( x ) = a sin ( b x + c ) , in denen die in (1) bis (3) beschriebenen Eigenschaften miteinander verknüpft sind.
Für a = 2, b = 2 und c = π 2 sowie a = 1,5; b = 0,75 und c = 3 π 2
sind die Graphen der Funktionen f 1 bzw. f 2 sowie y = f ( x ) = sin x im Bild 4 dargestellt.

Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar bzw. mithilfe von (1) bis (3) berechenbar:

Bild

Graphen der Funktionen mit y = a sin (bx + c)

Graphen der Funktionen mit y = a sin (bx + c)

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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