Erhaltungssätze in der speziellen Relativitätstheorie

Das Gesetz von der Erhaltung der Masse

Der Masseerhaltungssatz ist in der klassischen Physik ein eigenständiges Gesetz. Er besagt, dass sich in einem abgeschlossenen System die Gesamtmasse nicht ändert, also gilt:

m=i=1nmi=konstant

In der Relativitätstheorie sind aber nach dem Äquivalenzprinzip Masse und Energie äquivalent. Das bedeutet: In einem allgemeinen Energieerhaltungssatz ist bei Einbeziehung des Äquivalenzprinzips das Gesetz von der Erhaltung der Masse mit enthalten. Es ist somit in der Relativitätstheorie überflüssig, den Masseerhaltungssatz als ein gesondertes Gesetz zu formulieren.

Das Gesetz von der Erhaltung der Energie

Der Energieerhaltungssatz gilt für alle Bereiche der Physik und darüber hinaus uneingeschränkt. Er lautet:

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energien konstant.
E=i=1nEi=konstant
Zu beachten ist hierbei, dass in die Bilanz alle Energien einbezogen werden, die im System vorhanden sind. Aus klassischer Sicht sind das alle dort bekannten Energieformen. Aus relativistischer Sicht ist auch die Ruheenergie mit einzubeziehen. Damit setzt sich die Energie eines Körpers folgendermaßen zusammen:

E=E0+ΔEE=m0c2+Δmc2E=mc2=m01v2/c2c2

Die Gesamtenergie eines Systems ergibt sich aus der Summe der Einzelenergien.

Das Gesetz von der Erhaltung des Impulses

Der Impulserhaltungssatz der klassischen Physik besagt, dass in einem abgeschlossenen System die Summe aller Impulse konstant ist, also gilt:

p=i=1npi=i=1nmivi=konstant

Aus relativistischer Sicht muss die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse beachtet und einbezogen werden. Damit kann man für die Relativitätstheorie formulieren:
In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls konstant. Es gilt:
p=i=1npi=i=1nm0,ivi1v2/c2=konstantp Gesamtimpulspi Impulse der einzelnen Körperm0,i Ruhemassen der einzelnen Körpervi Geschwindigkeiten der einzelnen Körperc Lichtgeschwindigkeit

Zusammenhang zwischen relativistischem Impuls und relativistischer Energie

In der klassischen Physik sind Energieerhaltungssatz und Impulserhaltungssatz zwei voneinander unabhängige Erhaltungssätze. Im Gegensatz dazu sind diese Erhaltungssätze in der Relativitätstheorie miteinander verknüpft, wie sich aus der folgenden Überlegung ergibt:
Aus m=m01v2c2 folgt durch Umstellung:m1v2c2=m0Durch Quadrieren der Gleichung erhält man:m2(1v2c2)=m02Eine Weiterung mit c2 und Auflösung der Klammer ergibt:m2c2m2v2=m02c2Mit mc2=E,mv=pundm0c2=E0erhält man:mEp2=m0E0Durch Multiplikation der Gleichung mit c2 ergibt sich:mc2Ep2c2=m0c2E0oderE2p2c2=E02

Damit erhält man in der Relativitätstheorie als grundlegenden Zusammenhang zwischen dem Impuls und der Energie eines Körpers die Gleichung:
p2c2=E2E02

Folgerungen aus dem Zusammenhang von Impuls und Energie

Wird die genannten Gleichung nach der Ruheenergie umgestellt, so erhält man:

E02=E2p2c2

Die Ruheenergie ist für einen Körper konstant und in jedem beliebigen Inertialsystem gleich. Demzufolge ist auch der auf der rechten Seite der Gleichung stehende Term konstant und invariant gegenüber der LORENTZ-Transformation.

Aus dem Zusammenhang zwischen relativistischem Impuls und Energie ist es auch möglich, Aussagen zu Objekten ohne Ruhemasse zu treffen. Solche Objekte sind z.B. Photonen, die sich stets mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und keine Ruhemasse haben. Aus der obigen Gleichung folgt mit der Ruheenergie null:

E2=p2c2 oderE=pcDa für p=mc gilt, ergibt sich die Gleichung:E=mc2oderm=Ec2

Mithilfe dieser Gleichung kann man z.B. die Masse eines Photons, die man auch als Ersatzmasse oder dynamische Masse bezeichnet, berechnen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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