HALL-Effekt

Geladene Teilchen (Elektronen, Protonen, Ionen), die sich in einem Magnetfeld bewegen, werden durch dieses Magnetfeld beeinflusst, wenn ihre Bewegungsrichtung nicht mit der Feldrichtung übereinstimmt. Das gilt auch für Elektronen in Leitern. Es wirkt die LORENTZ-Kraft, die in dem in Bild 1 skizzierten Fall bewirkt, dass die Elektronen nach unten abgelenkt werden. In einem „normalen“ Leiter mit kreisförmigem Querschnitt ist der Effekt minimal.
Verwendet man aber einen flächenhaften Leiter, so wie er in Bild 1 dargestellt ist, dann tritt zwischen den Rändern des Leiters, also zwischen den Punkten A und B, aufgrund der Ladungsverschiebung eine messbare Spannung auf. Erstmals nachgewiesen wurde dieser Effekt 1879 von dem amerikanischen Physiker EDWIN HERBERT HALL (1855-1938). HALL hat den Effekt im Alter von 24 Jahren bei seiner Doktorarbeit, die er auf Anregung von HENRY AUGUSTUS ROWLAND (1848-1901) durchführte, gefunden. Details zum HALL-Effekt wurden 1880 im „American Journal of Science“ und im „Philosophical Magazine“ veröffentlicht.
Die Spannung, die zwischen Randpunkten des Leiters gemessen werden kann, nennt man HALL-Spannung.

Wovon ist die HALL-Spannung abhängig?

Der Betrag der HALL-Spannung hängt von der Stromstärke im Leiter, der magnetischen Flussdichte und der Dicke d des Leiters (Bild 1) ab. Sie kann berechnet werden mit der Gleichung:
$\begin{array}{l}{U}_{\text{H}}=R_{\text{H}}\cdot \frac{I\cdot B}{d}\\ R_{\text{H}}\text{HALL-Konstante}\\ I\text{Stromstärke im Leiter}\\ B\text{magnetische Flussdichte des Feldes}\text{, das den}\\ \text{Leiter senkrecht durchsetzt}\\ d\text{Dicke des Leiters}\end{array}$

Die HALL-Konstante ist eine stoffspezifische Materialkonstante. In Bild 2 sind die Werte für einige Stoffe angegeben.
Den genannten Zusammenhang kann man auch nutzen, um die magnetische Flussdichte B eines Magnetfeldes direkt zu messen. Eine solche Anordnung wird als HALL-Sonde bezeichnet. Dabei benutzt man Halbleiter, bei denen die HALL-Spannung wesentlich größer als bei Metallen ist.

Herleitung der Gleichung für die HALL-Spannung

Die oben genannte Gleichung kann folgendermaßen hergeleitet werden: Durch die vom Magnetfeld hervorgerufene Ladungsverschiebung wird zwischen Ober- und Unterkante des Leiters (Bild 1) ein elektrisches Feld hervorgerufen, dessen Feldstärke $E=U_{\text{H}}/B$beträgt. Die Elektronen werden solange abgelenkt, bis die Kraft des dadurch entstandenen elektrischen Feldes die LORENTZ-Kraft kompensiert. Dann gilt:

$\begin{array}{l}{F}_{\text{L}}=F_{\text{Feld}}\text{und damit}\\ e\cdot v\cdot B=e\frac{U_{\text{H}}}{b}\\ \text{Die Umstellung nach der HALL-Spannung ergibt:}\\ U_{\text{H}}=v\cdot B\cdot b\text{(1)}\\ \text{Die Driftgeschwindigkeit}v\text{der Elektronen kann man anders}\\ \text{ausdrücken}\text{, wobei die folgende Überlegung anzustellen}\\ \text{ist:}\\ \text{Für die Stromstärke im Leiter gilt:}\\ I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\text{(2)}\\ \text{Beträgt die Teilchendichte der Elektronen}n\text{und das}\\ \text{Volumen des Leiters}V\text{, dann kann man für die Ladung}\\ \Delta Q=n\cdot V\cdot e\text{und mit}V=b\cdot d\cdot l\text{auch}\\ \Delta Q=n\cdot b\cdot d\cdot l\cdot e\text{setzen}\text{. Einsetzen in (2) ergibt:}\\ I=\frac{n\cdot b\cdot d\cdot l\cdot e}{\Delta t}\text{und mit}\frac{l}{\Delta t}=v\\ I=n\cdot b\cdot d\cdot v\cdot e\\ \text{Die Umstellung nach}v\text{ergibt:}\\ v=\frac{I}{n\cdot b\cdot d\cdot e}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Setzt man diesen Ausdruck für}v\text{in die Gleichung (1) ein}\text{,}\\ \text{so erhält man:}\\ U_{\text{H}}=\frac{I\cdot B\cdot b}{n\cdot b\cdot d\cdot e}\text{oder}\\ U_{\text{H}}=\frac{1}{n\cdot e}\cdot \frac{I\cdot B}{d}\\ \text{Bezeichnet man den stoffspezifischen Term}\frac{1}{n\cdot e}\text{als}{R}_{\text{H}},\\ \text{so erhält man:}\\ U_{\text{H}}=R_{\text{H}}\cdot \frac{I\cdot B}{d}\end{array}$