Mathematische Aufgaben

Beim Lösen solcher Aufgaben werden physikalische Gesetze in Form von Gleichungen genutzt und Verfahren und Regeln der Gleichungslehre angewendet. Das betrifft insbesondere Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen und zum Umformen von Gleichungen.

Um solche Aufgaben zu lösen, sollte man in folgenden Lösungsschritten vorgehen:

• Notiere die für den betreffenden Sachverhalt geltenden Gesetze!
• Sind zwei oder mehr Größengleichungen miteinander zu kombinieren, so löse das Gleichungssystem durch die Substitutions- oder Additionsmethode!
• Forme die Größengleichung dann nach der gesuchten Größe um!
• Setze die Werte für die gegebenen Größen ein und berechne die gesuchte Größe! Rechne, wenn notwendig, Einheiten um! Beachte für das Ergebnis die Regeln für das Rechnen mit Näherungswerten!

Beispiel
Um Auffahrunfälle zu vermeiden, gibt es für den Abstand von Fahrzeugen folgende Faustregel: Der Abstand von einem Fahrzeug zum nächsten sollte mindestens gleich der Hälfte der Anzeige am Tachometer sein (Geschwindigkeit in km/h, Abstand in m). Wenn ein Auto z. B. mit 80 km/h fährt, sollte der Abstand zum Vordermann mindestens 40 m betragen.

Berechne für einen PKW mit dieser Geschwindigkeit unter Berücksichtigung der Schrecksekunde den Bremsweg bei einer Vollbremsung, wenn die Bremsverzögerung auf trockener Straße $7\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ beträgt!

Analyse:
Der PKW wird als Körper angesehen, der eine verzögerte Bewegung bis zum Stillstand ausführt. Dabei wird eine gleichmäßig verzögerte Bewegung angenommen. Für die Reaktionszeit (Schrecksekunde) kann man eine Sekunde annehmen. In dieser Zeit bewegt sich der PKW mit der angegebenen Geschwindigkeit von 80 km/h weiter. Der Bremsweg setzt sich demzufolge zusammen aus dem Weg während der gleichförmigen Bewegung in der Schrecksekunde und dem Weg während des Abbremsens bis zum Stillstand (Bild 2).

Lösung:
Der Bremsweg ergibt sich als Summe der Wege für beide Bewegungen:

$s_{ges.}=s_1+s_2$

Den Weg für die gleichförmige Bewegung während der „Schrecksekunde“ kann man mit dem Weg-Zeit-Gesetz für gleichförmige Bewegungen berechnen:

$s_1=v\cdot t_1$

$s_1=$ $22\frac{m}{s}\cdot 1s$

$s_1=$22 m

Den Weg für die gleichmäßig verzögerte Bewegung kann man nach dem Weg-Zeit-Gesetz für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen berechnen:

$s_2=\frac{a}{2}{t}_2^2$

Da die Zeit $t_2$ für diese Bewegung nicht bekannt ist, kann das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz herangezogen werden, denn die Anfangsgeschwindigkeit v ist bekannt. Somit erhält man ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei unbekannten Größen ($s_2$ und$t_2$ ), das man lösen kann:

$s_2=$ $\frac{s^2\cdot {22}^2{m}^2}{2\cdot 7m\cdot s^2}$

$s_2=$35 m

Damit erhält man für den Gesamtweg:

$s_{ges}$= 22 m + 35 m
$s_{ges}$= 57 m

Ergebnis:
Der Bremsweg bei einer Vollbremsung auf trockener Straße mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 80 km/h beträgt unter Berücksichtigung der Schrecksekunde 57 m. Das ist mehr als der Mindestabstand, der nach der Faustregel gefordert wird.