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In der Geschichte der Mathematik führt der Weg zu den komplexen Zahlen über die Untersuchung von Quadratwurzeln mit negativem Radikanden.
Es ist ein Zeitraum von fast tausend Jahren, der erforderlich war, um Zahlen der Form $a+\sqrt{-b}\left(a,breell,b>0\right)$ den Schleier des Unwirklichen zu nehmen und sie als Elemente einer die reellen Zahlen einschließenden Zahlenmenge zu verstehen.

* 31. März 1596 La Haye bei Tours
† 11. Februar 1650 Stockholm

Der französische Philosoph RENÉ DESCARTES gilt als einer der Wegbereiter der Aufklärung in Europa. Auf mathematischem Gebiet arbeitete er vor allem zur analytischen Geometrie. So geht die heute gebräuchliche Form des (kartesischen) Koordinatensystems auf ihn zurück. Auch setzte er sich dafür ein, mathematische (deduktive) Methoden in der Philosophie anzuwenden.

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \text{Für alle }{a}_i,b_i\text{ gilt }{a}_i=b_i.$
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

Goniometrische (trigonometrische) Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable im Argument von Winkelfunktionen vorkommt. Ein allgemeines Verfahren zum direkten Bestimmen der Lösung oder der Lösungen einer goniometrischen Gleichung gibt es nicht, - oft sind die Lösungen nur durch Näherungsverfahren zu ermitteln.
Tritt die Variable als Argument von verschiedenen Winkelfunktionen auf, so versucht man so umzuformen, dass die Gleichung auf eine solche mit nur einer Winkelfunktion reduziert wird. Bei diesen Umformungen helfen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen.

* 25. April 1849 Düsseldorf
† 22. Juni 1925 Göttingen

FELIX KLEIN wirkte u.a. in Erlangen, München, Leipzig und Göttingen. An allen Wirkungsstätten bemühte er sich erfolgreich, die Stellung der Mathematik zu verbessern, und hatte insbesondere großen Anteil an dem Aufstieg Göttingens zu einem führenden Zentrum der mathematischen Forschung.
Als wichtigste Forschungsergebnisse KLEINS sind zum einen die projektive Begründung der nichteuklidischen Geometrien, also jener Geometrien, in denen das Parallelenpostulat nicht erfüllt ist, und zum anderen die Systematisierung der Geometrien im Rahmen des „Erlanger Programms“ zu nennen. Erwähnenswert ist ferner sein Bemühen um die Verbesserung des mathematischen Unterrichts an den Schulen.

Lineare Gleichungssysteme können mithilfe von Determinanten gelöst werden. Eine entsprechende Regel dazu entwickelte der Schweizer Mathematiker GABRIEL CRAMER (1704 bis 1752).

* 5. Oktober 1781 Prag
† 18. Dezember 1848 Prag

Der böhmische Theologe BERNARD BOLZANO leistete wesentliche Beiträge zu Grundlagen der Analysis, insbesondere zum näherungsweisen Bestimmen von Nullstellen.
Er gilt zudem als ein Wegbereiter der modernen Logik und Mengenlehre.

* 21. April 1652 Ambert, Basse-Auvergne
† 8. November 1719 Paris

MICHEL ROLLE ist vor allem durch den nach ihm benannten Satz der Analysis bekannt. Vorrangig arbeitete er jedoch auf den Gebieten der Geometrie und der Algebra.

Gleichungen, bei denen von der Variablen (Unbekannten) direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen.
Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen.
Dies wird für lineare und quadratische Gleichungen demonstriert.

* 24. September 1501 Pavia
† 21. September 1576 Rom

GERONIMO CARDANO arbeitete auf dem Gebiet der Algebra und beschäftigte sich insbesondere mit dem Lösen kubischer Gleichungen. Die nach ihm benannte Lösungsformel (die cardanische Formel) stammt allerdings vom venezianischen Rechenmeister NICCOLÒ TARTAGLIA.
CARDANOS Studie „Liber de ludo aleae“ gilt als erste systematische Untersuchung auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Auf CARDANO gehen physikalische Erfindungen wie das Kardangelenk, die Kardanwelle bzw. die kardanische Aufhängung zurück. Zudem beschreib er als Erster den Verlauf der Typhuskrankheit.

Der griechische (hellenistische) Mathematiker DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA lebte um 250 und behandelte lineare und quadratische Gleichungen. Bei ihm finden sich erste Ansätze algebraischer Bezeichnungsweisen und Verfahren. Nach ihm benannt sind die sogenannten diophantischen Gleichungen.

* um 780 Bagdad (heute in Irak)
† um 850

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI (manchmal auch AL-KHWARIZMI oder AL-CHARISMI geschrieben) war ein persisch-arabischer Mathematiker, der etwa von 780 (als Geburtsjahre werden mitunter 783 bzw. 787 angegeben) bis etwa 850 lebte und insbesondere am Hofe des Kalifen AL-MANSUR (audh AL-MA'MUN) in Bagdad wirkte.

AL-CHWARIZMI Leistungen für die Mathematik sind bedeutsam. Aus seinem Namen wurde für Handlungsvorschriften der Begriff „Algorithmus“ abgeleitet.

Die Betragsfunktion ist ein Beispiel für eine stückweise erklärte stetige Funktion.