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Eine Abbildung f vom Vektorraum $V_1$ in den Vektorraum $V_2$ heißt genau dann linear, wenn für alle $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in V_1$ und $r\in ℝ$ gilt:
$\begin{array}{ccc}\left(1\right)& f\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=f\left(\overrightarrow{a}\right)+f\left(\overrightarrow{b}\right)& (fistadditiv)\\ \left(2\right)& f\left(r\overrightarrow{a}\right)=rf\left(\overrightarrow{a}\right)& (fist\mathrm{hom}ogen) \end{array}$
$$

Materialflüsse innerhalb einer ökonomischen Einheit drücken technologische und ökonomische Beziehungen zwischen den einzelnen Produktionsebenen aus.
Bei der Planung und Bilanzierung derartiger Wechselbeziehungen wird ein mathematisches Modell mit Matrizen und Vektoren gebildet. Dies ermöglicht es, in komprimierter Form die quantitativen Werte zu erfassen und zu bewerten.

Bei Rechenoperationen mit Matrizen sind aufgrund der Entstehungsweise der Matrix als Ergebnis einer Abstraktion inhaltliche und formale Bedingungen einzuhalten.

Eine Addition (bzw. Subtraktion) von Matrizen ist nur für Matrizen gleichen Typs erklärt. Sie erfolgt elementeweise. Die Addition von Matrizen ist kommutativ, assoziativ und umkehrbar. Das skalare Vielfache einer Matrix erhält man, indem jedes Element der Matrix mit dem betreffenden Skalar multipliziert wird.

Für die Produktbildung $A\cdot \overrightarrow{c}$ (Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor) muss vorausgesetzt werden, dass die Anzahl der Spalten in der Matrix A mit der Anzahl der Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{c}$ übereinstimmt.
Die Koordinaten des neuen Spaltenvektors, der durch die Multiplikation $A\cdot \overrightarrow{c}$ entsteht, erhält man jeweils als Summe der Koordinatenprodukte eines Zeilenvektors von A und des Spaltenvektors $\overrightarrow{c}$.

Zur Berechnung einer optimalen Transportauslastung mit minimalen Kosten kann ein Verfahren der Matrizenrechnung verwendet werden, das man Decklinienmethode nennt. Es wurde von den ungarischen Mathematikern EGERVARY und KÖNIG entwickelt und wir deshalb mitunter auch ungarische Methode genannt.

Sind $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_m}$ Vektoren eines Vektorraumes V, so ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum, d.h. ein Unterraum von V. Die Menge $\left\{\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_m}\right\}$ wird ein Erzeugendensystem des Unterraumes U genannt.
Von besonderem Interesse ist ein minimales Erzeugendensystem für U, d.h. ein System mit kleinstmöglicher Zahl m, welches dann Basis von U genannt wird.

Für die folgenden Betrachtungen werden die Begriffe der linearen Unabhängigkeit bzw. der linearen Abhängigkeit von Vektoren benötigt.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen (im Sonderfall nur aus einer Gleichung), deren Lösungen alle Gleichungen des Systems erfüllen müssen.
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist der Durchschnitt der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen.

Die Determinante (Bestimmende) ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix (n Zeilen und n Spalten) eine reelle Zahl zuordnet (interaktives Rechenbeispiel). Sie kann also als eine Funktion von $n^2$ Variablen aufgefasst werden und besteht aus Summanden, die Produkte aus den einzelnen Matrixelementen sind.
Der Wert einer Determinante kann mithilfe des Entwicklungssatzes von LAPLACE (über Unterdeterminanten) berechnet werden.
Ein Hilfsmittel für die Berechnung speziell dreireihiger Determinaten ist die Regel von SARRUS.