Gaußscher Algorithmus

Zum Lösen linearer Gleichungssysteme aus n Gleichungen mit n Unbekannten kann man (neben der cramerschen Regel) den gaußschen Algorithmus (auch gaußsches Eliminierungsverfahren genannt) verwenden.

Der gaußsche Algorithmus macht von folgenden Umformungen Gebrauch:

• Multiplizieren einer Gleichungen mit einer Zahl (verschieden von Null);
• Addition zweier Gleichungen

Bei diesen Umformungen handelt es sich um äquivalente Umformungen , d. h., durch sie wird die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändert.

Der gaußsche Algorithmus besteht dann aus folgenden Schritten:

1. Gleichungssystem gegebenenfalls neu ordnen (Gleichungen vertauschen);
    
2. die erste Gleichung (I) unverändert übernehmen;
    
3. mithilfe von Gleichung (I) die erste Variable (x) der zweiten und jeder weiteren Gleichung eliminieren, wozu die oben genannten Umformungen genutzt werden. Aus Gleichung (II) wird Gleichung (II'), aus (III) wird (III') usw.
    
4. die erste Gleichung (I) und die zuerst umgeformte Gleichung (II') übernehmen;
    
5. mithilfe von Gleichung (II') die zweite Variable (y) in der dritten und jeder weiteren Gleichung eliminieren, wozu die oben genannten Umformungen genutzt werden. Aus Gleichung (III') wird Gleichung (III"), aus (IV') wird (IV") usw.
    
6. das Verfahren fortführen (die Schritte 4 und 5 analog mit den nächsten Gleichungen wiederholen) bis als letztes eine Gleichung mit einer Unbekannten erreicht ist. Diese bildet zusammen mit den im letzten Schritt übernommenen Gleichungen die sogenannte Dreiecksform, aus der sich dann alle Variablen berechnen lassen

Beispiel:
$\begin{array}{l}2x+3y+z=-2(I)\\ -x-y+2z=5(II)\\ 4x+2y-3z=-6(III)\end{array}$

Schritt 1:
Vertauschen der Gleichungen (I) und (II) und neu nummerieren
$\begin{array}{l}-x-y+2z=5(I)\\ 2x+3y+z=-2(II)\\ 4x+2y-3z=-6(III)\end{array}$

Schritt 2:
Gleichung (I) beibehalten

Schritt 3:
a) Gleichung (I) mit 2 multiplizieren und zu (II) addieren, ergibt (II')
b) Gleichung (I) mit 4 multiplizieren und zu (III) addieren, ergibt (III')

Nach den Schritten 2 und 3 ergibt sich:
$\begin{array}{l}-x-y+2z=5(I)\\ y+5z=8(II\text{'})\\ -2y+5z=14(III\text{'})\end{array}$

Schritt 4:
Gleichung (I) und Gleichung (II') beibehalten

Schritt 5:
Gleichung (II') mit 2 multiplizieren und zu (III') addieren, ergibt (III'')

Nach den Schritten 4 und 5 ergibt sich:
$\begin{array}{l}-x-y+2z=5(I)\\ y+5z=8(II\text{'})\\ 15z=30(III\text{"})\end{array}$

Die Gleichung (III'') enthält nur noch eine Unbekannte, und die Dreiecksform ist erreicht. Das Verfahren ist also beendet.
Aus (III'') folgt z = 2;
aus (II') und unter Beachtung von z = 2 folgt y = –2;
aus (I) und unter Beachtung von z = 2 und y = –2 folgt x = 1.

Zur Probe setzt man die gefundenen Werte in das Ausgangsgleichungssystem ein und erhält die Bestätigung der Richtigkeit. (Da nur äquivalente Umformungen erfolgten, ist die Probe aus mathematischer Sicht nicht erforderlich. Sie dient aber dazu, mögliche Rechenfehler auszuschließen.)